Supongamos que $K$ es un campo de característica $0$ y $A$ es un $K$ -álgebra. Sea $F$ sea una extensión de campo de $K$ y que $M$ ser un $A$ -módulo. ¿Qué podemos decir sobre la simplicidad o semisimplicidad de $A_F$ -módulo $M_F$ respecto a la simplicidad o semisimplicidad de $M$ ? Por ejemplo, me refiero a las álgebras de Hecke.
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Luc Hermitte
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Si $K$ es un campo perfecto, $A$ es una dimensión finita $K$ -y $F/K$ es una extensión, entonces $M_F$ es semisimple sobre $A_F$ para cualquier $A$ -módulo $M$ .
Tenga en cuenta en primer lugar que si $J(R)$ denota el radical de Jacobson de un anillo $R$ entonces $J(A_F)=F\otimes_K J(A)$ de $A$ . De hecho, trivialmente $F\otimes_K J(A)$ es un ideal nilpotente. Pero $A_F/(F\otimes_K J(A))\cong (A/J(A))_F$ . Ahora bien $K$ es un campo perfecto, todo semisimple $K$ -(en particular, $A/J(A)$ ) es una separable $K$ -y, por tanto $(A/J(A))_F$ es semisimple. Concluimos que $J(A_F)=F\otimes_K J(A)$ .
Desde $J(A)$ aniquila $M$ trivialmente $F\otimes_K J(A)$ aniquila $M_F$ . Así $M_F$ es un $A_F/(F\otimes_K J(A))= A_F/J(A_F)$ -y, por tanto, semisimple.
Este argumento funciona siempre que $A/J(A)$ es separable en $K$ .
