Penetración de ondas electromagnéticas en conductores

Question

Ahora mismo, estoy mirando dos derivaciones sencillas de las relaciones de dispersión de las ondas electromagnéticas en conductores, y parecen discrepar en la atenuación de baja frecuencia. ¿Podría alguien aportar alguna idea sobre los regímenes de validez de estos métodos tan básicos?

En mi clase de electromagnetismo derivamos la relación de dispersión de las ondas en medios homogéneos altamente conductores de la siguiente manera:

Tenemos la Ley de Ampere y la Ley de Faraday

$\nabla\times H=\partial_t D+ J$

$\nabla\times E=\partial_t B$

Utilizar las relaciones constitutivas $D=\varepsilon E ; B=\mu H$ y la ley de Ohm $J=\sigma E$

$\nabla \times H = (\varepsilon\partial_t + \sigma)E$

$\nabla\times E=\mu\partial_t H$

A efectos prácticos, vamos a suponer soluciones exponenciales $E=\hat{x}E_0e^{i(\omega t-kz)}$

$\nabla \times H = (i\varepsilon \omega + \sigma)E$

$\nabla\times E=i\mu \omega H$

Curl de la Ley de Ampere, introduzca la de Faraday, utilice la identidad vectorial, como de costumbre, y llegue a

$k^2 = (\epsilon \mu \omega^2 -i\mu\omega\sigma)= \varepsilon\mu\omega^2 (1-i\frac{\sigma}{\epsilon\omega}) $

Supongamos que tenemos un conductor muy bueno ( $\sigma\gg\epsilon\omega$ ), entonces el lado derecho es casi puramente imaginario, y podemos escribir $k\approx \sqrt{\mu\sigma \omega/2} (1-i)$ . Se puede ver fácilmente que aumentar $\omega$ aumenta (la parte imaginaria de) $k$ lo que aumenta la atenuación de la onda. Las frecuencias más altas se atenúan más bruscamente en los buenos conductores.

En mi clase de sólidos derivamos la relación de dispersión de las ondas en medios altamente conductores en el modelo de gas de electrones libres.

Véase Introducción a la física del estado sólido de Kittel (pg 396-398)

Partiendo del electrón libre en un campo E

$m\partial_t^2x=-eE$

Resuelve la magnitud de las oscilaciones:

$x=eE/m\omega^2$

Relacionar con la polarización

$P=-nex=-\frac{ne^2}{m\omega^2}E$

A continuación, obtenga la permitividad relativa a partir de esa relación

$\varepsilon_r = 1 -\frac{ne^2}{m\omega^2} = 1 -\frac{\omega_p^2}{\omega^2}$

Lo que lleva a la dispersión

$k^2 = \mu\epsilon (\omega^2-\omega_P^2) $

Por ejemplo, cobre, $\omega_P$ debería ser algo así como 6 PHz. Para frecuencias por encima de eso (como UV), $k$ es real y la luz se propaga. Para frecuencias por debajo de eso, $k$ es imaginario y las ondas deben atenuarse/reflejarse.

Quiero comparar con el resultado de arriba. Supongo que para mi clase de E&M, estamos tratando con frecuencias mucho más bajas que PHz, ya que estos son ingenieros eléctricos. Por lo tanto, mirando a este resultado en el $\omega \ll \omega_P$ vemos que al aumentar $\omega$ disminuye la magnitud de $k$ lo que significa que las ondas se atenuarán menos a frecuencias más altas.

Estos dos modelos parecen discrepar en la $\omega \ll\omega_P$ comportamiento. ¿Por qué/ cómo descompone este último modelo estas frecuencias? Gracias.

Answer 1

Una diferencia clave entre los dos tratamientos es una suposición señalada por Kittel: "En ausencia de colisiones...". Está derivando una expresión para la respuesta dieléctrica en el límite sin pérdidas. Por el contrario, las EE de baja frecuencia incluyen la disipación ( $J= \sigma E$ ), pero dejando constante el dieléctrico.

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Actualización: He encontrado un tratamiento unificado en "Fields and Waves in Communication Electronics" de Ramo, Whinnery y Van Duzer, sección 13.3.

La ecuación de movimiento del electrón libre (velocidad $\boldsymbol{v}$ ) es:

$$m \frac{d\boldsymbol{v}}{dt} = - e \boldsymbol{E} - m \, \nu \, \boldsymbol{v} $$

El primer término modela la polarización (corriente de desplazamiento) mientras que el segundo tiene en cuenta las colisiones, con $\nu$ la tasa de colisión (pérdidas óhmicas). Suponiendo soluciones periódicas en estado estacionario con frecuencia angular $\omega$ se encuentra:

$$ \boldsymbol{J} = - n_e e \boldsymbol{v} = \frac{n_e e^2}{m(\nu + i \omega)} \boldsymbol{E} $$

Nótese que este término incluye elementos tanto en fase (corriente óhmica) como en cuadratura (corriente de polarización / desplazamiento).

Sustituyendo en Maxwell: $$ \boldsymbol{\nabla \times H} = i \omega \epsilon_c \boldsymbol{E} + \boldsymbol{J} = i \omega \epsilon_c \boldsymbol{E} + \frac{n_e e^2}{m(\nu + i \omega)} \boldsymbol{E} $$

$$ = i \omega \left[\left(\epsilon_c - \frac{n_e e^2}{m(\nu^2 + \omega^2)} \right) -i \frac{n_e e^2 \nu}{\omega m(\nu^2 + \omega^2)} \right] \boldsymbol{E} $$

Aquí $\epsilon_c$ se añade a mano para representar la respuesta de polarización de los electrones del núcleo del átomo de la red (diferentes de los electrones libres modelados por la ecuación anterior).

Ahora podemos ver dos casos extremos que corresponden a los dos análisis de la pregunta:

1) baja frecuencia ( $\omega^2<<\nu^2$ ) y domina la respuesta dieléctrica de los electrones del núcleo. $$ \epsilon = \epsilon_c - i \frac{\sigma}{\omega}$$

donde $\sigma=n_e e^2/(m\nu)$ es la conductividad de baja frecuencia.

2) gas ionizado (so $\epsilon_c=\epsilon_0$ ) con $\nu << \omega$ $$ \epsilon = \epsilon_0 \left[1 - \left(\frac{\omega_p}{\omega} \right)^2 \right]$$

donde $\omega_p = \sqrt{\frac{n_e e^2}{\epsilon_0 m}}$

Es agradable ver que estos dos casos surgen de un marco común.

Answer 2

Usted ha tratado el alto $\omega$ límite de forma incoherente en el primer modelo.

Asumir que un conductor es bueno requiere que le preguntes que $\sigma\gg\epsilon\omega$ ya que es la única escala característica de la conductancia. Sin embargo, esto requiere que se mantenga dentro de los límites de $\omega\ll\sigma/\epsilon$ y el límite de alta $\omega$ no tiene sentido.

Si quieres tomar ese límite, debes volver a la expresión original, general: $$k^2=\epsilon\mu\omega^2(1+i\frac\sigma{\epsilon\omega})\approx \epsilon\mu\omega^2.$$ Así, a alta frecuencia, el material ni siquiera es dispersivo. (Esto necesita, por supuesto, $\epsilon$ y $\mu$ sea independiente de $\omega$ que no lo son, del mismo modo que su argumento anterior lo exige de $\sigma$ .)

La lección general, creo, es que el hecho de que un material sea o no un buen conductor depende completamente de las escalas de tiempo implicadas. Purcell tiene un buen debate sobre este tema y establece de forma muy eficaz la comparación con el hecho de que un material sea sólido o líquido: eso también depende totalmente de los plazos .