Para un ejercicio de mi curso de análisis, tengo que demostrar que la función $$\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}f: (x,y) \mapsto \begin{cases} \frac{(x \sin y)^2}{|x|+|y|},&(x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$$ es $C^1$ . Intenté proceder demostrando que las derivadas parciales existen y son continuas.
He demostrado que $$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \begin{cases} \sin^2 y\frac{2x(|x|+|y|)-x^2\sgn(x)}{(|x|+|y|)^2}, & (x,y)\neq (0,0)\\ 0, & (x,y) = (0,0)\end{cases} $$
y $$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \begin{cases} x^2\frac{\sin^2y\cdot \cos y(|x|+|y|)-\sin^2(y)\sgn(y)}{(|x|+|y|)^2}, &(x,y) \neq (0,0) \\ 0, &(x,y) = (0,0)\end{cases}$$
Ahora, traté de demostrar que esas derivadas son continuas. Para demostrar que son continuas en $(x,y) \neq (0,0)$ es fácil ya que podemos aplicar las leyes de límite ya que el denominador no es $0$ cerca de $(x,y)$ .
Sin embargo, para demostrar que son continuas en $(0,0)$ No sé cómo proceder. He intentado lo siguiente:
$$ \begin{align*}\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \sin^2 y\frac{2x(|x|+|y|)-x^2\sgn(x)}{(|x|+|y|)^2} &= \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \sin^2 y \cdot \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{2x(|x|+|y|)-x^2sign(x)}{(|x|+|y|)^2}\\& = 0 \cdot \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{2x(|x|+|y|)-x^2sign(x)}{(|x|+|y|)^2} \end{align*}$$
Así que si $$\begin{align*} \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{2x(|x|+|y|)-x^2\sgn(x)}{(|x|+|y|)^2} &= \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{2x(|x|+|y|)}{(|x|+|y|)^2}-\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2\sgn(x)}{(|x|+|y|)^2}\\ &= \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{2x}{|x|+|y|}-\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2\sgn(x)}{(|x|+|y|)^2}\end{align*}$$ converge he terminado. Sin embargo, no estoy seguro de cómo proceder ahora. ¿Podría alguien darme una pista?
