¿Por qué la derivada del volumen del cono no es su área superficial?

Question

La derivada del volumen de una esfera, con respecto a su radio, da como resultado su área superficial. Entiendo que esto se debe a que dado un incremento infinitesimal en el radio, el cambio en el volumen solo ocurrirá en la superficie. De manera similar, la derivada del área de un círculo con respecto a su radio da como resultado su circunferencia por razones similares.

Una lógica similar se puede aplicar a otras formas geométricas simples y el patrón se mantiene. Para un cilindro, se vuelve más interesante. Su volumen es $\pi r^2h$, con la altura $h$ y radio $r$ siendo independientes.

Incrementos en la altura de un cilindro agregarán "un círculo" en la base del cilindro, por lo que tiene sentido para mí que la derivada del volumen con respecto a la altura sea el área de ese círculo $\pi r^2$. Cambios incrementales en su radio, agregarán un "tubo" alrededor del cilindro, cuya área es $2\pi rh$, la derivada del volumen con respecto al radio.

Pensé que había encontrado una buena razón heurística para explicar por qué las derivadas de los volúmenes dan áreas superficiales, pero no aplica para el cono. Su volumen es $\frac{\pi r^2 h}{3}$. Suponiendo que el ángulo $\theta$ del cono permanece constante, $h$ y $r$ son dependientes ($r=h\tan\theta$).

Ahora, la derivada del volumen del cono con respecto a la altura da como resultado el área de la base del cono, esto intuitivamente tiene sentido, pero la derivada con respecto al radio no parece coincidir con ninguna cantidad geométrica.

$V=\dfrac{\pi r^3}{3\tan\theta}~$ y $~\dfrac{\text{d}V}{\text{d}r}=\dfrac{\pi r^2}{\tan\theta}$

De manera similar, esperaba encontrar alguna forma de calcular el área superficial del cono sin la base $\pi rl$ donde $l$ es la distancia desde el punto del cono hasta el borde del círculo en su base. Sin embargo, la derivada con respecto a $l$ tampoco parece tener un significado geométrico significativo.

¿Qué está sucediendo aquí? ¿Es un problema de no definir la forma lo suficientemente rigurosamente? ¿Necesito parametrizar el volumen de manera más rigurosa de alguna manera?

Answer 1

Si continuamente agrandas un cono sólido agregando material a la base, entonces cada pulgada de altura agregada corresponde a una capa de grosor de una pulgada añadida a la base circular, por lo que la tasa de cambio de volumen es igual al área de la base por la tasa de cambio de la altura. Es decir, $dV/dh=A_\text{base}=\pi r^2$.

Sin embargo, si agrandas el cono agregando material a la "tapa", entonces agregar una pulgada de altura (o radio) no corresponde exactamente a una capa de grosor de una pulgada añadida a la tapa. El grosor añadido es en realidad $\Delta t=\Delta r \cos\theta=\Delta h \sin\theta$, lo cual puedes ver dibujando un par de triángulos (con un segmento de longitud $t$ perpendicular a la superficie del cono y con un extremo en el centro de la base). La tasa de cambio de volumen es el área de la tapa por la tasa a la cual añadimos grosor a la tapa: $dV=A_\text{cap}dt$, entonces tenemos $A_\text{cap}=\frac{dV}{dt}=\frac1{\cos\theta} \frac{dV}{dr}=\frac{\pi rh}{\cos\theta}=\pi rl$, donde $l$ es la altura inclinada.

Answer 2

La respuesta es que en los casos de círculo/esfera, el radio involucrado es una coincidencia que nos confunde en otras circunstancias.

Aquí hay una afirmación que es cierta para cualquier forma (razonable) $S$ en $\Bbb R^n$ cuyo límite no contiene el origen. Si definimos $tS = \{ tx\colon x\in S\}$ como la dilatación de $S$ por el número positivo $t$, y dejamos que $V(t)$ y $A(t)$ sean el volumen y el área superficial, respectivamente, de $tS$, entonces siempre se cumple que $V'(t) = A(t)$. (La prueba procede simplemente aproximando $V(t+\delta)-V(t)$.)

Esta fórmula explica tanto los éxitos en los casos de círculo/esfera, que simplemente son dilataciones de una forma fija, como los fracasos en los otros casos, que no son exactamente tales dilataciones. Si tenemos un cono que está creciendo mediante una dilatación de la manera mencionada anteriormente, entonces la derivada del volumen con respecto a $t$ será el área superficial.

Para una mayor comprensión, consideremos que $S_1$ sea el cuadrado $[-1,1]\times[-1,1]$. El área de la dilatación $tS_1$ es $4t^2$ y su perímetro es $8t$, que es la derivada del volumen. Pero si consideramos que $S_2$ sea el cuadrado $[0,1]\times[0,1]$, cuyo límite contiene el origen, entonces el área de la dilatación $tS_2$ es $t^2$ mientras que su perímetro es $4t$, que no es la derivada del volumen. Podríamos pensar en el área y el perímetro de un cuadrado como siendo $t^2$ y $4t$ y desesperarnos de que la relación de derivada se rompa, pero en realidad es la dilatación específica que elegimos, con el origen en el límite del cuadrado, la que está realmente rota.

(Creo que la hipótesis de que el origen no está en el límite es innecesaria si la forma es estrictamente convexa. La razón por la que el método $V(t+\delta)-V(t)$ falla a veces cuando el origen está en el límite es porque la dilatación no aumenta el volumen en absoluto a lo largo de la parte plana del límite que contiene el origen.)

Answer 3

Mi intuición me dice que deberías poder encontrar una fórmula así eligiendo la parametrización correcta. Un par de ejemplos motivadores:

Primer ejemplo: un disco

Considera un disco de radio r. El área en términos del radio es $\pi r^2$ y en términos del diámetro $\pi (\frac{d}{2})^2$. Si tomamos las derivadas de estas expresiones con respecto a cada parámetro, encontramos:

• $2 \pi r$ para el radio, que es la circunferencia, pero
• $\frac{1}{2} \pi d$ para el diámetro, que no es la circunferencia.

La parametrización afecta la rapidez con la que crece el área, y al variar el diámetro hace que el área del disco "crezca demasiado lentamente" para que el cambio en el área sea el círculo que lo rodea.

Segundo ejemplo: un triángulo equilátero

Considera un triángulo equilátero de lado $s$. El área es $A(s)=\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ y el perímetro es $P(s)=3s$. La derivada del área con respecto a $s$ es $\frac{dA}{ds} = \frac{\sqrt{3}}{2}s$, que no es el perímetro.

Así que introducimos un nuevo parámetro $q$: $s = kq$, donde $k$ es una constante. Tenemos $A(q)=\frac{\sqrt{3}}{4}k^2q^2$ y $P(q)=3kq$. Si establecemos $\frac{dA}{dq} = P(q)$ encontramos que $k=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Esto da un parámetro de $q = \frac{2}{\sqrt{3}}s$, ¡que resulta ser el diámetro del círculo circunscrito de nuestro triángulo!

Entonces, si parametrizamos el área de un triángulo equilátero por el diámetro de su círculo circunscrito, entonces la tasa de cambio del área es la circunferencia.

Sospecho que un enfoque similar podría darte una parametrización con la misma propiedad para el cono. Como primer paso, podrías intentar hacer lo mismo para un cono cuya base sea igual a su longitud lateral y ver qué obtienes. Quién sabe, tal vez el parámetro que encuentres tenga una interpretación en términos del radio de la esfera circunscrita.