Son $R_1=\mathbb{F}_5[x]/(x^2+2)$ y $R_2=\mathbb{F}_5[y]/(y^2+y+1)$ ¿anillos isomorfos?

Question

Son $R_1=\mathbb{F}_5[x]/(x^2+2)$ y $R_2=\mathbb{F}_5[y]/(y^2+y+1)$ ¿anillos isomorfos? Si es así, escribe un isomorfismo explícito. Si no, demuestra que no lo son.

Mi intento:

Desde $x^2+2$ es irreducible en $\mathbb{F}_5[x]$ y $y^2+y+1$ es irreducible en $\mathbb{F}_5[y]$ , ambos $R_1$ y $R_2$ son campos. Además, $O(R_1)=25=O(R_2)$ . Puesto que para un primo dado $p$ y enteros $n$ existe un único campo con $p^n$ elementos, $R_1$ y $R_2$ son isomorfas. Pero, ¿cómo puedo escribir un isomorfismo explícito? ¿Puede alguien ayudarme a encontrarlo?

Answer 1

Pista: $(y + 3)^2 + 2 = y^2 + y + 1$ como elementos de $\mathbb F_5[y]$ .

Answer 2

El comienzo de tu argumento está bien. Para el isomorfismo explícito observa que $x$ es una raíz cuadrada de $-2$ en el primero, ahora encuentra uno en el segundo también.

Para ello, tenga en cuenta que $y^2 + y +1 = (y^2+ y -1) +2 = (y^2+ 4y +4) +2 = (y+2)^2 +2 $ .