Resultados del álgebra abstracta que parecen erróneos (pero son ciertos)

Question

Hay muchas afirmaciones en álgebra abstracta, a menudo planteadas por principiantes, que son simplemente demasiado bueno para ser verdad . Por ejemplo, si $N$ es un subgrupo normal de un grupo $G$ es $G/N$ es isomorfo a un subgrupo de $G$ ? Como matemático experimentado, vemos inmediatamente que no hay ninguna razón para que esto sea cierto - incluso sin pensar en ello en detalle. A menudo se nos ocurren rápidamente contraejemplos. A veces, es difícil encontrar contraejemplos.

Muchas preguntas entran en esta categoría, por ejemplo:

• Si $f : R \to S$ es un homomorfismo de anillo y $I \subseteq R $ es un ideal, es entonces $f(I) \subseteq S$ ¿un ideal? ( SE/2200335 )
• $\DeclareMathOperator\Aut{Aut}$ Si $G,H$ son grupos, ¿tenemos $\Aut(G \times H) \cong \Aut(G) \times \Aut(H)$ ? ( SE/1236571 )
• ¿Todo submódulo de un módulo finitamente generado es también finitamente generado? ( SE/83078 )
• Si $A$ es un grupo abeliano con $A^3 \cong A$ ¿implica esto $A^2 \cong A$ ? ( MO/10128 )
• Si $A$ es un grupo abeliano con $A \oplus \mathbb{Z}^2 \cong A$ ¿implica esto $A \oplus \mathbb{Z} \cong A$ ? ( MO/218113 )
• Si $G$ , $H$ son grupos cuyas álgebras de grupo $ \mathbb{Q}[G]$ , $\mathbb{Q}[H]$ son isomorfas, son entonces $G$ , $H$ ¿isomorfo? ( SE/1342851 )
• Véase también MO/23478 para falsas creencias comunes en matemáticas

Pero mi pregunta se refiere en realidad a situaciones en las que, por alguna extraña razón, nuestra primera corazonada no es correcta y un una afirmación errónea resulta ser cierta . Los ejemplos serán abundantes, por eso quiero restringir esta pregunta a ejemplos procedentes del álgebra abstracta (son bienvenidos a abrir preguntas similares para otras ramas y sabores de las matemáticas, y por favor háganme saber si ya hay preguntas de este tipo).

He aquí algunos ejemplos que me vienen a la mente:

• Todo homomorfismo de grupo $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{Z}$ es una combinación lineal finita de proyecciones. De hecho, $(\mathbb{Z}^{ \mathbb{N}})^* \cong \mathbb{Z}^{\oplus \mathbb{N}}$ . ( Specker 1950 )
• Si $A$ , $B$ son finitamente generado grupos abelianos (más generalmente, módulos finitamente generados sobre un anillo noetheriano conmutativo) y $f : A \to A \oplus B$ , $g : A \oplus B \to B$ son homomorfismos tales que $0 \to A \xrightarrow{f} A \oplus B \xrightarrow{g} B \to 0$ es exacta, entonces es exacta dividida.
• Si $A$ , $B$ , $C$ son finito grupos tales que $A \times B \cong A \times C$ entonces $B \cong C$ . ( SE/3579745 )
• cada negación de los ejemplos mencionados anteriormente, por ejemplo: Hay es un grupo abeliano $A$ con $A \cong A^3$ y $A \not\cong A^2$ . (Sin embargo, me interesan más los resultados "positivos").

Busco enunciados en álgebra abstracta en los que este es tu reacción cuando te enteras de que en realidad son ciertas.

Por favor, intente incluir una referencia para la declaración y la prueba.

Answer 1

Me parece apropiado nombrar el siguiente resultado totalmente inesperado, que es demasiado bueno para ser cierto y, sin embargo, es cierto.

¿Existen sólo finitamente muchos grupos finitos con $m$ generadores de exponente $n$ ¿hasta el isomorfismo (problema de Burnside restringido)?

En el caso del exponente primo $p$ , este problema fue ampliamente estudiado por A. I. Kostrikin durante la década de 1950, antes de la solución negativa del problema general de Burnside. El caso de exponente arbitrario ha sido completamente resuelto afirmativamente por Efim Zelmanov, que recibió la Medalla Fields en 1994 por su trabajo.

Answer 2

En un grupo de Frobenius finito, el conjunto de todos los elementos libres de punto fijo junto con la identidad forma un subgrupo.

Puede que esto no nos resulte tan chocante, ya que normalmente cuando oímos hablar por primera vez de los grupos de Frobenius es precisamente con el objetivo de demostrar esta afirmación, pero además, normalmente en teoría de grupos, cuando algunos subconjuntos en una gran clase de grupos no tienen una razón "natural" para ser subgrupos, tarde o temprano no lo serán (y además, lo anterior se vuelve falso en grupos de Frobenius infinitos).

Answer 3

En Teorema de Auslander-Buchsbaum que todo anillo local regular es un dominio de factorización único.

Debo decir que la primera vez que vi enunciado este teorema no me sorprendió de inmediato, pero eso se debió a que aún no tenía suficiente experiencia con el álgebra conmutativa como para tener una intuición bien desarrollada en uno u otro sentido. De alguna manera, el teorema de Auslander-Buchsbaum me resultaba más sorprendente cuanto más aprendía.

Answer 4

Supongo que se puede decir que el teorema de Jordan sobre grupos lineales complejos finitos podría ser un resultado de este tipo: existe una función $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tal que para cada $n \in \mathbb{N}$ todo subgrupo finito $G$ de ${\rm GL}(n,\mathbb{C})$ tiene un subgrupo abeliano normal $A$ con $[G:A] \leq f(n).$ Es bien sabido que esto falla si intentamos sustituir $\mathbb{C}$ por un campo algebraicamente cerrado de característica $p > 0$ .

Answer 5

En el mundo del álgebra de Hopf hay bastantes cosas sorprendentes:

• Teorema de Takeuchi: Toda bialgebra graduada conexa es un álgebra de Hopf. (¡Sin supuestos de finitud!) En realidad, Takeuchi era más general: Si $H$ es un $\mathbb N$ -bialgebra graduada y su $0$ -ésimo componente graduado $H_0$ es Hopf, entonces $H$ es Hopf.

• Teorema de Cartier-Milnor-Moore: Toda gradación cocomutativa (= $\mathbb N$ -graduada) en característica $0$ es isomorfa al álgebra universal envolvente de su espacio primitivo (= espacio de elementos primitivos). Esto significa que la comprensión de las bialgebras graduadas cocomutativas en característica $0$ es esencialmente equivalente a comprender las álgebras de Lie graduadas. Las bialgebras gradadas conmutativas pueden entenderse igualmente por dualidad. Se puede sustituir "gradadas" por "filtradas", y el teorema sigue siendo válido con los cambios apropiados. Para ver el comportamiento salvaje adecuado, hay que pasar al caso ni conmutativo ni conmutativo, o a características positivas (o trabajar sobre anillos). Considero que la demostración de Cartier-Milnor-Moore (estudiando los idempotentes eulerianos) también está llena de sorpresas, pero quizá más combinatorias que algebraicas.

• Teorema de Nichols-Zoeller: Si $H$ es un álgebra de Hopf de dimensión finita sobre un campo, y $A$ es una subálgebra de Hopf de $H$ entonces $H$ es una izquierda libre $A$ -y un derecho libre $A$ -módulo. (Quizás esto sea algo menos sorprendente si se piensa en ello como una generalización del teorema de Lagrange para grupos finitos, ¡pero hay muchas más álgebras de Hopf que grupos!) Generalizado aún más por Skryabin (2006).

• teoría de Zelevinsky de las álgebras PSH, mostrando que cada $\mathbb Z$ -El álgebra de Hopf que satisface ciertas propiedades de positividad es isomorfa a un producto tensorial de copias estiradas de grado del anillo de funciones simétricas.

Una vez que se llega a las funciones simétricas, las sorpresas empiezan a multiplicarse: La identidad "polinomio de Schur = alternante dividido por el determinante de Vandermonde" me parece sorprendente por muchas pruebas diferentes que vea; la regla de Littlewood-Richardson en sus múltiples formas; las tablas semistándricas que forman una sección de los monoides plásticos al tiempo que indexan una base de irreducibles $\operatorname{GL}_n$ -módulos; ... Pero tal vez las sorpresas sean algo menos sorprendentes cuando proceden de la combinatoria, ya que estamos acostumbrados a pensar en el álgebra como manipulaciones formales y en la combinatoria como una jungla llena de vida...

Y luego, volviendo al álgebra, está por supuesto el Teorema Fundamental de la teoría de Galois.