Resultados del álgebra abstracta que parecen erróneos (pero son ciertos)

Question

Hay muchas afirmaciones en álgebra abstracta, a menudo planteadas por principiantes, que son simplemente demasiado bueno para ser verdad . Por ejemplo, si $N$ es un subgrupo normal de un grupo $G$ es $G/N$ es isomorfo a un subgrupo de $G$ ? Como matemático experimentado, vemos inmediatamente que no hay ninguna razón para que esto sea cierto - incluso sin pensar en ello en detalle. A menudo se nos ocurren rápidamente contraejemplos. A veces, es difícil encontrar contraejemplos.

Muchas preguntas entran en esta categoría, por ejemplo:

• Si $f : R \to S$ es un homomorfismo de anillo y $I \subseteq R $ es un ideal, es entonces $f(I) \subseteq S$ ¿un ideal? ( SE/2200335 )
• $\DeclareMathOperator\Aut{Aut}$ Si $G,H$ son grupos, ¿tenemos $\Aut(G \times H) \cong \Aut(G) \times \Aut(H)$ ? ( SE/1236571 )
• ¿Todo submódulo de un módulo finitamente generado es también finitamente generado? ( SE/83078 )
• Si $A$ es un grupo abeliano con $A^3 \cong A$ ¿implica esto $A^2 \cong A$ ? ( MO/10128 )
• Si $A$ es un grupo abeliano con $A \oplus \mathbb{Z}^2 \cong A$ ¿implica esto $A \oplus \mathbb{Z} \cong A$ ? ( MO/218113 )
• Si $G$ , $H$ son grupos cuyas álgebras de grupo $ \mathbb{Q}[G]$ , $\mathbb{Q}[H]$ son isomorfas, son entonces $G$ , $H$ ¿isomorfo? ( SE/1342851 )
• Véase también MO/23478 para falsas creencias comunes en matemáticas

Pero mi pregunta se refiere en realidad a situaciones en las que, por alguna extraña razón, nuestra primera corazonada no es correcta y un una afirmación errónea resulta ser cierta . Los ejemplos serán abundantes, por eso quiero restringir esta pregunta a ejemplos procedentes del álgebra abstracta (son bienvenidos a abrir preguntas similares para otras ramas y sabores de las matemáticas, y por favor háganme saber si ya hay preguntas de este tipo).

He aquí algunos ejemplos que me vienen a la mente:

• Todo homomorfismo de grupo $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{Z}$ es una combinación lineal finita de proyecciones. De hecho, $(\mathbb{Z}^{ \mathbb{N}})^* \cong \mathbb{Z}^{\oplus \mathbb{N}}$ . ( Specker 1950 )
• Si $A$ , $B$ son finitamente generado grupos abelianos (más generalmente, módulos finitamente generados sobre un anillo noetheriano conmutativo) y $f : A \to A \oplus B$ , $g : A \oplus B \to B$ son homomorfismos tales que $0 \to A \xrightarrow{f} A \oplus B \xrightarrow{g} B \to 0$ es exacta, entonces es exacta dividida.
• Si $A$ , $B$ , $C$ son finito grupos tales que $A \times B \cong A \times C$ entonces $B \cong C$ . ( SE/3579745 )
• cada negación de los ejemplos mencionados anteriormente, por ejemplo: Hay es un grupo abeliano $A$ con $A \cong A^3$ y $A \not\cong A^2$ . (Sin embargo, me interesan más los resultados "positivos").

Busco enunciados en álgebra abstracta en los que este es tu reacción cuando te enteras de que en realidad son ciertas.

Por favor, intente incluir una referencia para la declaración y la prueba.

Answer 1

Como campos, los cierres algebraicos de los campos ${\bf Q}_p$ son isomorfos, y son isomorfos a los números complejos.

Answer 2

Para un grupo con un número finito de elementos de orden finito, el conjunto de elementos de orden finito es un subgrupo.

Answer 3

El teorema de Nielsen-Schreier, según el cual los subgrupos de grupos libres son libres, podría parecer sorprendente desde un punto de vista algebraico, ya que el análogo para muchas otras estructuras algebraicas es falso. Aunque esto es fácil de demostrar topológicamente, la demostración algebraica original es, en mi opinión, sólo una traducción algebraica de la demostración topológica que, por alguna extraña razón, precedió a la topológica.

Answer 4

En teoría combinatoria de grupos, en términos generales, casi cualquier problema que se pueda imaginar resulta indecidible. Esto incluye el problema de la palabra, el problema del isomorfismo, el problema de la trivialidad, etc. He aquí un ejemplo de un problema muy general que, sin embargo, es decidible.

A mediados de los años sesenta y principios de los setenta se estudió el "problema de la ecuación" o "problema de Diofantina" para semigrupos (y grupos) libres. Dado un grupo libre fijo $F$ (para simplificar, digamos de rango $2$ en los generadores $a$ y $b$ ), se pide: que $w_1(a, b, X,Y,Z,\dots)$ y $w_2(a,b, X,Y,Z,\dots)$ sean dos palabras escritas en los generadores $a,b$ y sus inversas, junto con algunas "variables" $X, Y, Z, \dots$ y sus inversos formales. ¿Hay palabras $w_X, w_Y, \dots, w_Z \in F$ tal que la ecuación $$ w_1(a, b, w_X, w_Y, w_Z, \dots) = w_2(a,b, w_X, w_Y, w_Z, \dots) $$ se cumple en $F$ ? Por ejemplo, ¿hay alguna solución para $XbXY^{-1} = Zb$ en el grupo libre de $a$ y $b$ ? (Sí, por ejemplo $X = Y = Z = a$ ). El mismo problema puede plantearse para semigrupos libres (en cuyo caso basta con omitir los inversos, lo que se denomina "ecuaciones de palabras").

El problema "real" de Diofantina, es decir, el problema de determinar si un polinomio sobre $\mathbf{Z}$ tienen raíces enteras, o el Décimo Problema de Hilbert, fue demostrado indecidible en general por Matiyasevich en 1970. Durante mucho tiempo se creyó que el Décimo Problema de Hilbert debía ser reducible al problema de Diofantina en (semi)grupos libres y, por tanto, demostrar que este último problema también era indecidible.

Pero no fue así. En 1977, Makanin demostró que los semigrupos libres tienen un problema de Diofantina decidible, y unos años más tarde, también demostró que los grupos libres tienen un problema de Diofantina decidible. Sus soluciones son increíblemente complejas, pero Dahmani y Guirardel las han generalizado a todos los grupos hiperbólicos (esta última solución se basa en los diagramas de Razborov; Razborov, al igual que Makanin, también fue alumno de Adian, y trabajó para hacer una versión geométrica de los argumentos combinatorios de Makanin).

Este es uno de los pocos casos de un problema muy general que es decidible en teoría combinatoria de grupos. La primera vez que lo vi, estaba seguro de que había interpretado mal "indecidible" como "decidible", dada la pesadumbre general de la indecidibilidad en este campo (cf. la Teorema de Adian-Rabin ). Creo que esto cumple los requisitos.

Answer 5

Existe un grupo infinito finitamente generado con sólo dos clases de conjugación, un difícil resultado de Osin .