Resultados del álgebra abstracta que parecen erróneos (pero son ciertos)

Question

Hay muchas afirmaciones en álgebra abstracta, a menudo planteadas por principiantes, que son simplemente demasiado bueno para ser verdad . Por ejemplo, si $N$ es un subgrupo normal de un grupo $G$ es $G/N$ es isomorfo a un subgrupo de $G$ ? Como matemático experimentado, vemos inmediatamente que no hay ninguna razón para que esto sea cierto - incluso sin pensar en ello en detalle. A menudo se nos ocurren rápidamente contraejemplos. A veces, es difícil encontrar contraejemplos.

Muchas preguntas entran en esta categoría, por ejemplo:

• Si $f : R \to S$ es un homomorfismo de anillo y $I \subseteq R $ es un ideal, es entonces $f(I) \subseteq S$ ¿un ideal? ( SE/2200335 )
• $\DeclareMathOperator\Aut{Aut}$ Si $G,H$ son grupos, ¿tenemos $\Aut(G \times H) \cong \Aut(G) \times \Aut(H)$ ? ( SE/1236571 )
• ¿Todo submódulo de un módulo finitamente generado es también finitamente generado? ( SE/83078 )
• Si $A$ es un grupo abeliano con $A^3 \cong A$ ¿implica esto $A^2 \cong A$ ? ( MO/10128 )
• Si $A$ es un grupo abeliano con $A \oplus \mathbb{Z}^2 \cong A$ ¿implica esto $A \oplus \mathbb{Z} \cong A$ ? ( MO/218113 )
• Si $G$ , $H$ son grupos cuyas álgebras de grupo $ \mathbb{Q}[G]$ , $\mathbb{Q}[H]$ son isomorfas, son entonces $G$ , $H$ ¿isomorfo? ( SE/1342851 )
• Véase también MO/23478 para falsas creencias comunes en matemáticas

Pero mi pregunta se refiere en realidad a situaciones en las que, por alguna extraña razón, nuestra primera corazonada no es correcta y un una afirmación errónea resulta ser cierta . Los ejemplos serán abundantes, por eso quiero restringir esta pregunta a ejemplos procedentes del álgebra abstracta (son bienvenidos a abrir preguntas similares para otras ramas y sabores de las matemáticas, y por favor háganme saber si ya hay preguntas de este tipo).

He aquí algunos ejemplos que me vienen a la mente:

• Todo homomorfismo de grupo $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{Z}$ es una combinación lineal finita de proyecciones. De hecho, $(\mathbb{Z}^{ \mathbb{N}})^* \cong \mathbb{Z}^{\oplus \mathbb{N}}$ . ( Specker 1950 )
• Si $A$ , $B$ son finitamente generado grupos abelianos (más generalmente, módulos finitamente generados sobre un anillo noetheriano conmutativo) y $f : A \to A \oplus B$ , $g : A \oplus B \to B$ son homomorfismos tales que $0 \to A \xrightarrow{f} A \oplus B \xrightarrow{g} B \to 0$ es exacta, entonces es exacta dividida.
• Si $A$ , $B$ , $C$ son finito grupos tales que $A \times B \cong A \times C$ entonces $B \cong C$ . ( SE/3579745 )
• cada negación de los ejemplos mencionados anteriormente, por ejemplo: Hay es un grupo abeliano $A$ con $A \cong A^3$ y $A \not\cong A^2$ . (Sin embargo, me interesan más los resultados "positivos").

Busco enunciados en álgebra abstracta en los que este es tu reacción cuando te enteras de que en realidad son ciertas.

Por favor, intente incluir una referencia para la declaración y la prueba.

Answer 1

El grupo libre con infinitos generadores es un subgrupo del grupo libre con dos generadores.

Answer 2

Sea $G$ sea un grupo finito y $n \mid |G|$ .

Si $S = \{x \in G : x^n = 1\}$ contiene exactamente $n$ elementos, entonces $S$ es un subgrupo de $G$ .

No parece haber ninguna razón a priori para esperar $S$ es un subgrupo si $G$ no es abeliano. La prueba (véase Iiyori y Yamaki - Sobre una conjetura de Frobenius ( MSN )) utiliza la clasificación de grupos simples finitos.

Answer 3

Todo grupo simple finito puede estar generado como máximo por $2$ elementos. Esta es otra famosa consecuencia de la clasificación.

Answer 4

Todo elemento de un grupo no abeliano simple finito es un conmutador. Esta es la solución positiva a la conjetura de Ore (véase Liebeck, O'Brien, Shalev y Tiep - La conjetura de Ore ) y utiliza la clasificación.

Answer 5

Todo subgrupo de índice finito de un grupo profinito finitamente generado es abierto. La inversa es obvia, pero esta dirección me sorprendió bastante. Este es un resultado de Nikolov y Segal y utiliza la clasificación de grupos simples finitos.