Dos preguntas sobre series débilmente convergentes relacionadas con $\sin(n^2)$ y la desigualdad de Weyl

Question

Utilizando la suma parcial y la desigualdad de Weyl, no es difícil demostrar que la serie $\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(n^2)}{n}$ es convergente.

• ¿Es cierto que $$\frac{1}{2}=\inf\left\{\alpha\in\mathbb{R}^+:\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(n^2)}{n^\alpha}\mbox{ is convergent}\right\}?$$
• En caso de respuesta afirmativa a la pregunta anterior, ¿cuál es $$\inf\left\{\beta\in\mathbb{R}^+:\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(n^2)}{\sqrt{n}(\log n)^\beta}\mbox{ is convergent}\right\}?$$

Answer 1

Recuerdo una generalización de la fórmula de la suma parcial:

Supongamos que $\lambda_1,\lambda_2,\ldots$ es una sucesión no decreciente de números reales con límite infinito, que $c_1,c_2,\ldots$ es una secuencia arbitraria de números reales o complejos, y que $f(x)$ tiene una derivada continua para $x\geq \lambda_1$ . Ponga $$ C(x)=\sum_{\lambda_n\leq x}c_n, $$ donde la suma es sobre todos los $n$ para lo cual $\lambda_n\leq x$ . Entonces para $x\geq\lambda_1$ , $$ \sum_{\lambda_n\leq x}c_nf(\lambda_n)=C(x)f(x)-\int^{x}_{\lambda_1}C(t)f'(t)dt.\tag 1 $$

Ahora podemos escribir si $y=x^2$ y $\lambda_n=n^2$ y $C(t)=[\sqrt{t}]$ (parte entera de $\sqrt{t}$ ): $$ S=\sum_{1\leq n\leq x}\frac{\sin(n^2)}{n^a}=\sum_{\lambda_n\leq y}\frac{\sin(\lambda_n)}{\lambda_n^{a/2}}= $$ $$ =[\sqrt{y}]\frac{\sin(y)}{y^{a/2}}-\int^{y}_{1}[\sqrt{t}]\frac{d}{dt}\left(\frac{\sin(t)}{t^{a/2}}\right)dt. $$ Pero es $[\sqrt{t}]=\sqrt{t}-\{\sqrt{t}\}$ donde $\{\sqrt{t}\}$ es la parte fraccionaria de $\sqrt{t}$ . Por lo tanto $$ S=-\frac{1}{2}Re\left[iy^{1/2-a/2}E\left(\frac{1+a}{2},iy\right)\right]+\frac{1}{2}Re\left[iE\left(\frac{1+a}{2},i\right)\right]+\sin(1)-\{\sqrt{y}\}\frac{\sin(y)}{y^{a/2}}+ $$ $$ +\int^{y}_{1}\{\sqrt{t}\}\frac{d}{dt}\left(\frac{\sin(t)}{t^{a/2}}\right)dt, $$ donde $$ E(a,z)=\int^{\infty}_{1}\frac{e^{-tz}}{t^a}dt $$ Pero cuando $a>0$ y $y\rightarrow+\infty$ tenemos $$ \lim_{y\rightarrow+\infty}\left\{-\frac{1}{2}Re\left[iy^{1/2-a/2}E\left(\frac{1+a}{2},iy\right)\right]+\frac{1}{2}Re\left[iE\left(\frac{1+a}{2},i\right)\right]\right\}+\sin(1)= $$ $$ =\frac{1}{2}Re\left[iE\left(\frac{1+a}{2},i\right)\right]+\sin(1) $$ También $x$ es un número entero positivo y $\{\sqrt{y}\}=0$ .

Por lo tanto, cuando $a>0$ entonces $$ \lim_{x\rightarrow\infty}\sum^{x}_{n=1}\frac{\sin(n^2)}{n^a}=\frac{1}{2}Re\left[iE\left(\frac{1+a}{2},i\right)\right]+\sin(1)+\lim_{y\rightarrow\infty}\int^{y}_{1}\{\sqrt{t}\}\frac{d}{dt}\left(\frac{\sin(t)}{t^{a/2}}\right)dt $$ Pero $$ \int^{y}_{1}\{\sqrt{t}\}\frac{d}{dt}\left(\frac{\sin(t)}{t^{a/2}}\right)dt=\int^{y}_{1}\{\sqrt{t}\}\frac{\cos(t)t^{a/2}-a/2\sin(t)t^{a/2-1}}{t^a}dt= $$ $$ \int^{y}_{1}\{\sqrt{t}\}\left(\cos(t)t^{-a/2}-a/2\sin(t)t^{-a/2-1}\right)dt=\int^{y}_{1}\{\sqrt{t}\}\frac{\cos(t)}{t^{a/2}}dt-\frac{a}{2}\int^{y}_{1}\frac{\sin(t)}{t^{a/2+1}}\{\sqrt{t}\}dt. $$ Claramente cuando $a$ es positivo y constante $$ \lim_{y\rightarrow+\infty}\int^{y}_{1}\frac{\sin(t)}{t^{a/2+1}}\{\sqrt{t}\}dt=2\lim_{x\rightarrow\infty}\int^{x}_{1}\frac{\sin(t^2)}{t^{a+1}}\{t\}dt<\infty, $$ desde $0\leq\{t\}<1$ y $-1\leq\sin(t^2)\leq 1$ para todos $t>0$ .

Por lo tanto, queda por encontrar bajo qué condición en $a>0$ tenemos $$ \int^{\infty}_{1}\{\sqrt{t}\}\frac{\cos(t)}{t^{a/2}}dt=2\int^{\infty}_{1}\cos(t^2)t^{1-a}\{t\}dt<\infty, $$ sabiendo ya que para todos $0<a\leq 1$ tenemos $$ \int^{\infty}_{1}\cos(t^2)t^{1-a}dt<\infty. $$

Sin embargo, es $$ F(x)=\int^{x}_{1}\cos(t)\{\sqrt{t}\}dt=\frac{\sqrt{2\pi}}{2}\textrm{Fs}\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right)-\frac{\sqrt{2\pi}}{2}\textrm{Fs}\left(\sqrt{\frac{2x}{\pi}}\right)+ $$ $$ +\sum_{2\leq k<\sqrt{x}}\sin(k^2)+\{\sqrt{x}\}\sin(x)=O\left(\sum_{2\leq k<\sqrt{x}}\sin(k^2)\right).\tag 2 $$ La función $\textrm{Fs}(x)$ es la función FresnelS $$ \textrm{Fs}(z):=\int^{z}_{0}\sin\left(\pi t^2/2\right)dt $$ y se sabe que $$ \lim_{x\rightarrow+\infty}\textrm{Fs}(x)=\frac{1}{2}. $$ Por lo tanto, si fijamos $$ S(x):=\sum_{2\leq k<x}\sin(k^2) $$ y asumir que $a=1/2-\epsilon$ , $\epsilon>0$ entonces $$ I(x)=\int^{x}_{1}\frac{1}{t^{a/2}}\cos(t)\{\sqrt{t}\}dt=\int^{x}_{1}\frac{F'(t)}{t^{a/2}}dt=\frac{F(x)}{x^{a/2}}+\frac{a}{2}\int^{x}_{1}\frac{F(t)}{t^{a/2+1}}dt=S_1+S_2,\tag 3 $$ donde $$ S_1=\frac{1}{x^{a/2}}S(\sqrt{x})+\frac{\{\sqrt{x}\}\sin x}{x^{a/2}}+\frac{\sqrt{\pi/2}}{x^{a/2}}\left(\textrm{Fs}\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right)-\textrm{Fs}\left(\sqrt{\frac{2x}{\pi}}\right)\right) $$ y $$ S_2=\frac{a}{2}\int^{x}_{1}\frac{1}{t^{1/4-\epsilon/2+1}}\{\frac{\sqrt{2\pi}}{2}\textrm{Fs}\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right)-\frac{\sqrt{2\pi}}{2}\textrm{Fs}\left(\sqrt{\frac{2t}{\pi}}\right)+ $$ $$ +\{\sqrt{t}\}\sin(t) +\sum_{2\leq k\leq \sqrt{t}}\sin(k^2)\}dt. $$ Pero se sabe que existen constantes $C$ tal que para valores infinitos de $x\in\textbf{N}$ tiene $$ \sum_{2\leq k\leq x}\sin(k^2)>Cx^{1/2}.\tag 4 $$ Por lo tanto, para valores infinitos de $x$ tendremos (fácilmente) $$ S_1>C_1x^{\epsilon/2}.\tag 5 $$ Además, si suponemos que $$ \left|\sum_{2\leq k\leq x}\sin(k^2)\right|=O\left(x^{c+\delta}\right)\textrm{, }\forall \delta>0\textrm{ and }x\rightarrow+\infty,\tag 6 $$ entonces en vista de (4) debe ser $c\geq 1/2$ . También $$ S_2=C_{\epsilon}(x)+\int^{x}_{1}t^{-1/4+\epsilon/2-1}\left(\sum_{2\leq k\leq \sqrt{t}}\sin(k^2)\right)dt. $$ Por lo tanto $$ \left|S_2\right|=\left|C_{\epsilon}(x)+\int^{x}_{1}t^{-1/4+\epsilon/2-1}\left(\sum_{2\leq k\leq \sqrt{t}}\sin(k^2)\right)dt\right|\leq $$ $$ \leq \left|\left|C_{\epsilon}(x)\right|+\left|\int^{x}_{1}t^{-1/4+\epsilon/2-1}\left(\sum_{2\leq k\leq \sqrt{t}}\sin(k^2)\right)dt\right|\right|\leq $$ $$ |C_{\epsilon}(x)|+\int^{x}_{1}\left|t^{-1/4+\epsilon/2-1}\left(\sum_{2\leq k\leq \sqrt{t}}\sin(k^2)\right)\right|dt= $$ $$ =\left|C_{\epsilon}(x)\right|+C_2\int^{x}_{1}t^{-1/4+\epsilon/2-1}\left|\sum_{2\leq k\leq \sqrt{t}}\sin(k^2)\right|dt\leq $$ $$ \leq\left|C_{\epsilon}(x)\right|+C_2\int^{x}_1t^{-1-1/4+\epsilon/2}t^{1/4+\delta/2}dt= $$ $$ =\left|C_{\epsilon}(x)\right|+C_2\int^{x}_{1}t^{-1+\epsilon/2+\delta/2}dt=\left|C_{\epsilon}(x)\right|+\frac{2}{\delta+\epsilon}\left(x^{(\delta+\epsilon)/2}-1\right)< $$ $$ <|C_{0}|+\log x+C_3d\log^2 x,\tag 7 $$ donde $\epsilon>0$ y $\delta>0$ tan pequeños como nos plazca y $d=\frac{\epsilon+\delta}{2}>0$ , $C_3>0$ constante. También es fácil ver a alguien que $\left|C_{\epsilon}(x)\right|$ están limitadas por una constante $C_0>0$ .

Por lo tanto, de $(3)$ y $(5),(7)$ tenemos si $a=1/2-\epsilon$ que $$ \left|\int^{x}_{1}\frac{\cos (t)\{\sqrt{t}\}}{t^{a/2}}dt\right|=|S_1+S_2|\geq |S_1|-|S_2|>C_1x^{\epsilon/2}-|C_0|-\log x-C_3d\log^2 x, $$ Para valores infinitos de $x\in\textbf{N}$ .

Por lo tanto $$ \lim_{x\rightarrow+\infty}\int^{x}_{1}\frac{\cos(t)\{\sqrt{t}\}}{t^{a/2}}dt=+\infty $$ y concluimos que si (6) se cumple, entonces $\textrm{inf}\geq1/2$ .

Argumentaré ahora sobre el caso $a=\frac{1}{2}+2\epsilon$ , $\epsilon>0$ Es decir el caso en que $a$ no es $1/2$ sino un caso límite y no cubre el caso $a=1/2$ . Ambos resultados $\textrm{inf}\geq1/2$ y $\textrm{inf}=1/2+2\epsilon$ nos muestran claramente que para $1/2<a\leq1$ la suma $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{\sin(n^2)}{n^a}$ converge y diverge para $0<a<1/2$ bajo la hipótesis $(6)$ . Para $a=1/2$ No lo sabemos.

Para $a=1/2+2\epsilon$ , $\epsilon>0$ y para $x>>1$ elegimos $\delta>0$ tal que $$ S\left(\sqrt{x}\right)\leq C_1x^{1/4+\delta}, $$ obtenemos $$ \left|I(x)\right|=|S_1+S_2|\leq \left|C_1\frac{S\left(\sqrt{x}\right)}{x^{a/2}}+C_2\frac{a}{2}\int^{x}_{1}\frac{S\left(\sqrt{t}\right)}{t^{a/2+1}}dt\right|\leq $$ $$ \leq\left|C_1'\frac{x^{1/4+\delta}}{x^{1/4+\epsilon}}+C_2'\left(\frac{1}{4}+\epsilon\right)\int^{x}_{1}\frac{t^{1/4+\delta}}{t^{1+1/4+\epsilon}}dt\right|= $$ $$ =\left|C_1'x^{-(\epsilon-\delta)}+C_2'\left(\frac{1}{4}+\epsilon\right)\int^{x}_{1}\frac{dt}{t^{1+\epsilon-\delta}}\right|. $$ Para $\delta=\epsilon/2$ obtenemos $$ |I(x)|\leq \left|C_1'x^{-\epsilon/2}-\frac{2C_2'}{\epsilon}\left(\frac{1}{4}+\epsilon\right)\left(x^{-\epsilon/2}-1\right)\right|= $$ $$ =\left|C_1'x^{-\epsilon/2}+\frac{C_2'}{2\epsilon}\left(1-x^{-\epsilon/2}\right)+2C_2'\left(1-x^{-\epsilon/2}\right)+H-H\right|\leq $$ $$ \leq\left|C_1'x^{-\epsilon/2}+\frac{C_2'}{2\epsilon}\left(1-x^{-\epsilon/2}\right)+2C_2'\left(1-x^{-\epsilon/2}\right)+H\right|+\left|H\right|.\tag 8 $$ Ahora fijamos $$ X=C_1'x^{-\epsilon/2}+\frac{C_2'}{2\epsilon}\left(1-x^{-\epsilon/2}\right)>0 $$ y $$ Y=2C_2'\left(1-x^{-\epsilon/2}\right)+H>0 $$ y utilizo la desigualdad $$ \left|X+Y\right|\leq \left|X-\frac{Y}{4\epsilon}\right|,\tag 9 $$ lo que es cierto para $\epsilon$ y $x>1$ ya que podemos escribir equivalentes $$ \left|X+Y\right|^2\leq \left|X-\frac{Y}{4\epsilon }\right|^2\Leftrightarrow X^2+Y^2+2XY\leq X^2+\frac{Y^2}{16\epsilon^2}-\frac{XY}{2\epsilon }\Leftrightarrow $$ $$ Y^2+2XY\leq\frac{Y^2}{16\epsilon^2}-\frac{XY}{2\epsilon}\Leftrightarrow Y+2X\leq \frac{Y}{16\epsilon^2}-\frac{X}{2\epsilon}\Leftrightarrow $$ $$ \left(\frac{1}{16\epsilon^2}-1\right)Y\geq X\left(2+\frac{1}{2\epsilon}\right) $$ Esta última desigualdad se cumple para todos los $\epsilon>0$ y $x>>1$ ya que puede escribirse de forma equivalente como $$ (1-16\epsilon^2)Y-X(32\epsilon^2+8\epsilon)\geq0\Leftrightarrow $$ $$ 2\epsilon(1+2\epsilon)\left(C_2'-4\epsilon C_1'+4C_2'\epsilon\right)x^{-\epsilon/2}\geq 0, $$ donde hemos utilizado el valor $$ H=\frac{2(C_2'+4C_2\epsilon)}{1-4\epsilon} $$ Por lo tanto (9) es verdadera y podemos extraer de la relación (8) la conclusión $$ \left|I(x)\right|\leq \left|C_1'x^{-\epsilon/2}+\frac{C_2'}{2\epsilon}\left(1-x^{-\epsilon/2}\right)+2C_2'\left(1-x^{-\epsilon/2}\right)+H\right|+\left|H\right|= $$ $$ =\left|X+Y\right|+\left|H\right|\leq $$ $$ \leq\left|C_1'x^{-\epsilon/2}+\frac{C_2'}{2\epsilon}\left(1-x^{-\epsilon/2}\right)-\frac{C_2'}{2\epsilon}\left(1-x^{-\epsilon/2}\right)-\frac{H}{4\epsilon}\right|+|H|= $$ $$ =\left|C_1'x^{-\epsilon/2}-\frac{H}{4\epsilon}\right|+|H|. $$ Por lo tanto $$ \epsilon |I(x)|\leq C_1'x^{-\epsilon/2}\epsilon+H/4+|H|\epsilon. $$ Por lo tanto, concluimos que $$ \epsilon \left|I(x)\right|=O(1) $$ está limitada. Por tanto, para $\epsilon>0$ pequeño pero constante el $I(x)$ están acotadas.