cambio de coordenadas en dos hipersuperficies

Question

Si M es una hipersuperficie (incrustada) en $\mathbb R^n$ entonces sabemos que podemos utilizar coordenadas tales que $M=\{(x_1,...,x_n) | x_n=0\}$ al menos localmente. Si tenemos dos hipersuperficies M, N ¿podemos hacer algo parecido? ¿Podemos conseguir coordenadas tales que $M: x_n=0$ y $N: x_i=0$ (donde $i=n$ si $M=N$ localmente, o $i\neq n$ si no). Supongo que se trata de una cuestión de álgebra lineal en su mayor parte. Lo que estoy pensando es hacer un cambio de coordenadas tal que $M=\{(x_1,...,x_n)| x_n=0\}$ y luego trabajar en el cambio de coordenadas para N estabilizando $x_n$ pero no estoy seguro de que funcione. Cualquier sugerencia será bienvenida.

Answer 1

Hay casos en los que no se puede. Por ejemplo, consideremos los conjuntos cero de $y-x^2=0$ y $y=0$ . Los espacios tangentes de ellos en el origen no generan todo el plano, pero si tuviéramos coordenadas locales como deseamos entonces generarían todo el plano.