Número de elementos en un grupo de diferentes órdenes, mod $n$ ¿se obtiene información de los subgrupos?

Question

El grupo alterno sobre cinco elementos, $A_5$ , ha $1$ orden de los elementos $1$ , $15$ orden de los elementos $2$ , $20$ orden de los elementos $3$ y $24$ orden de los elementos $5$ . Si tomo estos números mod algunos $n$ A veces obtengo números de elementos que corresponden a un subgrupo de $A_5$ .

Para aclarar, un ejemplo con $n=10$ . $\{1,15,20,24\}$ mod $10$ se convierte en $\{1,5,0,4\}$ . $D_{10}$ el grupo diédrico de orden $10$ tiene un orden de elementos $1$ , $5$ orden de los elementos $2$ y $4$ elementos de orden $5$ . $D_{10}$ también es un subgrupo de $A_5$ . Esto también ocurre con los otros $n$ igual al orden de algún subgrupo de $A_5$ .

Mi pregunta es: ¿por qué ocurre esto? Y qué condiciones son necesarias para que esto ocurra en otros grupos, ya que esto no ocurre para todos los grupos.

Answer 1

Dejemos que $\omega_d(G)$ sea el número de elementos de orden d en el grupo finito G . Sea X sea el conjunto de todos los grupos finitos G tal que para cada d , $\omega_d(H) = \omega_d(G) \mod |H|$ para cada subgrupo H ≤ G .

Como los comentarios de jspecter, X es claramente cerrado bajo subgrupos, por lo que podemos estar interesados en los mínimos no X -grupos, aquellos grupos que no están en X pero todo subgrupo propio está en X .

Lema: El grupo cíclico de orden pq para primos distintos p , q es un mínimo no X -grupo.

Prueba: Tiene p -1 elementos de orden p pero no puede ser que ambos p -1≡0 mod q y q -1≡0 mod p . $\square$

Lema: Un grupo finito con un subgrupo cíclico y un subgrupo abeliano elemental, ambos de orden $p^2$ no puede ser un X -grupo.

Prueba: El número de elementos de orden p en todo el grupo debe ser igual a $p^2-1 \mod p^2$ debido al subgrupo abeliano elemental, pero también debe ser igual a $p-1 \mod p^2$ debido al subgrupo cíclico. $\square$

Propuesta: Un grupo abeliano finito es un X -si y sólo si es un grupo cíclico p -o un grupo abeliano elemental p -para algún primo p .

Prueba: Si el grupo no es un p -grupo, entonces se aplica el primer lema. Si el grupo no es de exponente p entonces debe ser cíclico por el segundo lema. $\square$

Propuesta: Un grupo 2 finito es un X -si y sólo si es cíclico, abeliano elemental, o el grupo cuaternión de orden 8.

Prueba: Si el grupo tiene exponente 2, entonces es abeliano elemental. En caso contrario, contiene un elemento de orden 4. Por el segundo lema no contiene ningún subgrupo abeliano elemental de orden 2, por lo que debe ser cíclico o cuaternión generalizado. Sin embargo, el grupo cuaternión generalizado de orden 16 es un mínimo no X -y, por tanto, la única posibilidad es Q ₈ que se comprueba fácilmente que es un X -grupo, tienen 6 elementos de orden 4, que son 2 mod 4 y 0 mod 2. $\square$

Le site p -grupos para impar p desafiará una clasificación tan explícita, ya que todos los grupos de exponente p son X -grupos. Sin embargo, este es el único obstáculo:

Propuesta: A p -grupo para impar p es un X -si y sólo si es cíclico o de exponente p .

Prueba: De nuevo, a no ser que se trate de un exponente p no puede tener ningún subgrupo abeliano elemental de rango 2. En el impar p caso, esto deja sólo los grupos cíclicos como candidatos. $\square$ .

Propuesta: Un grupo nilpotente es un X -si y sólo si es un grupo cíclico p -grupo, un grupo de exponente p o el grupo de cuaterniones Q ₈ .

Prueba: Un nilpotente X -el grupo debe ser un p -para que no contenga un subgrupo cíclico de orden pq . $\square$

Dejaré abiertos los grupos solubles por ahora, pero comentaré con jspecter que los grupos no abelianos de orden pq y más generalmente grupos cíclicos de orden $p^n$ actuando fiel e irreductiblemente en grupos de orden $q^m$ son X -grupos, ya que tienen $(p^d-p^{d-1})q^m$ elementos de orden $p^d$ que es 0 mod $q^m$ como debería ser, y como $1 \equiv q^m \mod p^n$ para que la acción exista, es incluso igual a $p^d - p^{d-1}$ mod $p^d$ como debe ser. De la misma manera, $q^m-1$ es igual a 0 mod $p^n$ y $q^d-1$ mod $q^d$ Todo como debe ser.

Propuesta: Un grupo simple finito no abeliano es un X -si y sólo si es PSL(2,4) o PSL(2,8).

Prueba: Disponemos de varias hipótesis convenientes: los subgrupos de Sylow 2 son abelianos elementales (los cíclicos y los cuaterniones quedan descartados por el teorema Z* de Glauberman), por lo que el grupo es un $\operatorname{PSL}(2,2^n)$ o J ₁ . El cálculo explícito excluye a J ₁ y confirma PSL(2,4) y PSL(2,8). Para el general $2^n$ nuestro grupo contiene grupos cíclicos de orden $2^n+1$ y $2^n-1$ , ambas deben ser potencias primarias. Creo que las únicas soluciones a esto son $2^2\pm1=3,5$ y $2^3\pm1=7,9$ pero no estoy seguro de si esto es un hecho bien conocido o un problema abierto en la teoría numérica elemental.

Esto puede extenderse a todos los grupos casi simples observando que S ₅ y PΓL(2,8) no son X -grupos. El producto directo de grupos casi simples nunca es un X -ya que contiene un subgrupo cíclico de orden $2p$ .