Cálculo del módulo de potencias negativas

Question

Digamos que tenemos lo siguiente: $3^{-1}\bmod 7$ ¿Cómo lo calculamos sin calculadora? Iba a hacer $3^1 \bmod 7 = 3$ .

Answer 1

De la división euclidiana $7=3\times2+1,$ podemos ver que $1=7+3\times-2$ .

Módulo $7$ Esto dice $1\equiv3\times-2,$ o $1\equiv3\times5$ ;

esto indica que $-2$ o $5$ es la inversa de $3$ modulo $7$ .

Answer 2

Incluso en aritmética modular, es cierto que $3^{-1} \cdot 3^1 = 1$

Así que sólo tienes que encontrar un valor $x$ tal que $3 \cdot x = 1$ . Afortunadamente, sólo tienes 7 opciones para comprobar en el mod 7. $x$ podría ser igual a $0,1,2,3,4,5$ o $6$

Answer 3

Si no fueras principiante, podríamos hacerlo de la siguiente manera:

$${(7-1)\over 3}=2\therefore 3\cdot(7-2)\equiv 1\bmod 7$$ Esto se lee como, restando 1 de 7 y dividiendo por 3 te da 2. Por lo tanto, 3 veces el número creado de restar 2 de 7 es congruente a 1 mod 7.

Es más o menos un argumento espejo de: 2 por 3 es 6, por lo tanto (-2) por 3 es (-6). (-6)+7=1 es el equivalente menos positivo mod 7 .