¿La convergencia vaga y la convergencia débil de las medidas son convergencia débil*?

Question

Durante mucho tiempo, he estado confundido acerca de las definiciones de convergencia débil y convergencia vaga de medidas entre otros modos de convergencia que provienen del análisis funcional, principalmente debido a muchas definiciones y teoremas diferentes de los libros de probabilidad. Apreciaría si alguien puede aclarar los términos y dar una imagen clara de los conceptos. (Tenga en cuenta que Did ha respondido algunas de mis preguntas relacionadas antes. Gracias, Did).

1. En el libro de probabilidad de Kallenberg, éste define la convergencia débil de a medidas secuenciales es

   Consideremos cualquier medida de probabilidad $\mu$ y $\mu_1, \mu_2, \dots$ en un espacio métrico $(S, \rho)$ con campo a de Borel $S$ , que $\mu_n$ converge débilmente a $\mu$ si $\int f d\mu_n \to \int f d\mu$ para cada $f \in C_b(S)$ la clase de los acotados, acotadas y continuas $f: S \to \mathbb R$ .

2. Kallenberg define la convergencia vaga de una secuencia de medidas como

   Considere el espacio $\mathcal M = \mathcal M(\mathbb R^d) $ de medidas localmente finitas en $\mathbb R^d$ . En $\mathcal M$ w introducir la topología vaga, generada por los mapeados $\mu \mapsto \int f d\mu$ para todos $f \in C_K^+$ la clase de co continuas $f: \mathbb R^d \to \mathbb R_+$ w En particular, $\mu_n$ se dice que converge vagamente a $\mu$ i $\mu_n f \to \mu f$ para todos $f \in C_K^+$ . Si el $\mu_n$ a medidas de probabilidad, entonces claramente $\mu(\mathbb R^d) < 1$ .

3. Folland en su libro de ananlisis real define topologa vaga y y, por tanto, la convergencia vaga de las medidas complejas de Radon en una zona compacta de Hausdorff (LCH) $X$ como topología débil* y convergencia débil* wrt $C_0(X)$ . Dice que el término "vago" es común en la teoría de la probabilidad, y tiene la ventaja de formar un adverbio con más gracia que "débil*". La topología vaga se denomina a veces topología débil, pero esta terminología entra en conflicto con la suya, ya que $C_0(X)$ rara vez reflexivo.

4. En el libro de probabilidad de Kai Lai Chung, una secuencia de subprobabilidades medidas $\mu_n$ en $\mathbb R$ se definen para que converjan vagamente a otra medida de subprobabilidad $\mu$ si existe un subconjunto denso $D$ de $\mathbb R$ s.t. $\forall a, b \in D, a < b, \mu_n((a,b]) \to \mu((a,b])$ .

5. A continuación en Chung's, el Teorema 4.4.1 dice que en el caso de medidas de subprobabilidad, la convergencia vaga es equivalente a la convergencia débil* con $C_0(\mathbb R)$ y $C_K(\mathbb R)$ . El teorema 4.4.2 dice que en el caso de las medidas de probabilidad, la convergencia vaga es equivalente a la convergencia débil* con $C_b(\mathbb R)$ .

Me preguntaba si las definiciones anteriores de convergencia débil y convergencia vaga son todas convergencia débil*, en el sentido de que las medidas forman (un subconjunto de) el dual continuo de $C_b$ , $C_K$ , $C_K^+$ y $C_0$ ?

Al definir la convergencia vaga y la topología vaga, ¿por qué utiliza kallenberg $C_K^+$ en lugar de $C_K$ , uso de Folland $C_0$ y Kai Lai Chung utiliza $C_K$ , $C_0$ y $C_b$ ? ¿Son coherentes entre sí sus definiciones de convergencia vaga?

Entre las convergencias de medidas wrt $C_b$ , $C_K$ , $C_K^+$ y $C_0$ ¿cuándo "cuál" implica "cuál"? ¿Cuándo equivale which a which?

La última cuestión es ver si existen algunas unificaciones de los conceptos anteriores. ¿Pueden generalizarse las definiciones anteriores a medidas más generales (medidas de probabilidad, medidas de subprobabilidad, medidas localmente finitas se utilizan en las definiciones anteriores), y a espacios subyacentes más generales (espacio métrico, $\mathbb R^d$ y $\mathbb R$ se utilizan en las definiciones anteriores)?

¡Gracias y saludos!

Answer 1

Vale, hay mucho que decir aquí, empecemos por la pregunta más fácil.

El uso de $C^+_K$ en lugar de $C_K$ no cambia absolutamente nada porque siempre podemos escribir $f=f^+-f^-$ con $f^+=\max(f,0)$ y $f^-=\max(-f,0)$ que son positivas e integrables.

Para evitar confusiones entre los diferentes nombres de las distintas convergencias hablaré de $C_K$ , $C_0$ o $C_b$ convergencia.

El caso sencillo

Primero veamos qué pasa en el caso más bonito : Toma $X$ sea un conjunto compacto de Hausdorff. Entonces $C_K(X)=C_b(X)=C^0(X)$ con $C^0(X)$ el espacio de todas las funciones continuas de $X$ a $\mathbb R$ (o $\mathbb C$ pero en realidad no importa). Es un poco difícil decir qué $C_0(X)$ es para $X$ un espacio topológico sin ninguna otra estructura pero ya que aquí $X$ es compacta la única definición natural es $C_0(X)=C_b(X)$ . Además, utilizando el teorema de Riesz-Markov podemos identificar el dual (topológico) de $C^0(X)$ y el espacio $\mathcal M (X)$ de todas las medidas de Radon (con signo y finitas) en $X$ . Ahora podemos definir la topología débil-* en $\mathcal M (X)$ por $\mu_n\to \mu$ sólo si $\int fd\mu_n \to \int f\mu$ para cada $f\in C^0(X)$ . Obviamente todas las definiciones que has visto antes son las mismas aquí porque $C_K(X)=C_0(X)=C_b(X)=C^0(X)$ . Así que en este caso todas esas convergencias diferentes son la misma y son, de hecho, la convergencia débil-* de medidas. La topología débil-* de un Banach tiene una propiedad muy importante: la bola unitaria cerrada para la topología fuerte es compacta para la topología débil-* (es el teorema de alaoglu de Banach). Lo que implica lo siguiente : dada una secuencia acotada de medidas de Radon $\mu_n$ existe una medida de Radon $\mu$ y una subsecuencia $\mu_{n_k}$ tal que $\mu_{n_k}$ es convergente débil-* a $\mu$ . Además, podemos demostrar que si el $\mu_n$ son medidas de probabilidad, entonces $\mu$ también es una medida de probabilidad (lo veremos más adelante).

Ahora, en el caso más general, cuando $X$ es Hausdorff pero sólo localmente compacta es más difícil. En primer lugar, los espacios $C_K$ , $C_b$ y $C^0$ son todas diferentes. Y cuando $C_0(X)$ es fácilmente definible (cuando $X$ es un espacio métrico o un espacio vectorial topológico, por ejemplo) también es diferente de todos los espacios anteriores. Así que lo más probable es que las distintas definiciones de convergencias ya no coincidan. Veamos primero cuáles son las diferencias con el caso anterior.

Las cosas que todavía funcionan, o no

Si nos fijamos en el teorema de Riesz Markov sigue funcionando con $X$ siendo sólo localmente compacta, pero las medidas de Radon ya no son finitas, sólo localmente finitas. Así que la convergencia utilizando $C_K(X)$ funciones sigue siendo la convergencia débil-* de las medidas. El teorema de Banach Alaoglu también sigue funcionando, pero la propiedad sobre la medida de probabilidad ya no es válida: en $\mathbb R$ la secuencia $\delta_n$ es convergente débil-* a $O$ que no es una medida de probabilidad. Sin embargo, si la secuencia $\mu_n$ está acotada y converge a $\mu$ entonces $\mu$ también está acotada y $\mu(X)\leq \lim\mu_n(X)$ (con la posibilidad de una desigualdad estricta, como en el ejemplo anterior).

Para la convergencia con $C_0(X)$ también tenemos un teorema de representación para el dual de $C_0(X)$ en términos de medidas (véase la página de wikipedia del teorema de Riesz-Markov). Así que lo que he dicho para $C_K(X)$ la convergencia se mantendrá. Sin embargo, aunque la $C_K$ y el $C_0$ convergencias pueden considerarse convergencias débiles-* no son lo mismo. Tomemos la secuencia $n\delta_n$ es $C_K$ convergente a $0$ pero no $C_0$ convergentes (por ejemplo $X=\mathbb R$ y $f(x)=sin(x)/x$ ).

Para la convergencia con $C_b(X)$ funciones es diferente. Existen elementos del dual de $C_b(X)$ que no pueden representarse como medidas en $X$ Un ejemplo de ello es el "límite de Banach", el límite de Banach de la $l^\infty$ secuencia $(f(n))_{n\in\mathbb N}$ es uno de esos elementos raros del dual de $C_b(X)$ . Así que el $C_b$ no es una convergencia débil*.

Última cosa que decir : ya que $C_K(X)\subset C_0(X) \subset C_b(X)$ vemos inmediatamente que el $C_b$ la convergencia implica $C_0$ convergencia que a su vez implican $C_K$ convergencia pero las conversaciones son todas falsas. Por ejemplo $\delta_n$ en $\mathbb R$ es $C_0$ convergente a $0$ pero no $C_b$ convergentes (tomemos como ejemplo la función acotada seno).

Cómo hacer que las cosas vuelvan a funcionar

La respuesta casi obvia es: tenemos que volver a trabajar en un compacto. La noción útil aquí es la noción de secuencia compacta (especialmente cuando se trata de probabilidad): $(\mu_n)$ se denomina ajustada si, para todo $\varepsilon>0$ existe una compacta $K_\varepsilon$ tal que $\mu_n(K^C_\varepsilon)<\varepsilon$ para todos $n$ . Así pues, la secuencia de medidas están todas casi apoyadas en un conjunto compacto, por lo que no hay posibilidad de que la masa "escape al infinito" como ocurría con $(\delta_n)$ . Si $(\mu_n)$ es ajustado, entonces el $\mu_n$ son finitas (suponemos que todas las medidas son localmente finitas)

Ahora puedes leer esta respuesta mía sobre secuencias ajustadas : Definición de la convergencia débil* de medidas mediante funciones continuas con soporte compacto

Resumiendo: si tu secuencia acotada de medidas es ajustada, entonces las 3 definiciones son equivalentes. Además, si la $\mu_n$ son medidas de probabilidad entonces también lo es el límite, y si se tiene una secuencia de medidas de probabilidad que convergen a una medida de probabilidad $\mu$ en el $C_K$ definición entonces es ajustada. Además, si $(\mu_n)$ es $C_b$ convergente entonces es automáticamente ajustado.

Las otras preguntas

Las medidas localmente finitas que son notables finitas suelen ser no en el dual de $C_b$ y $C_0$ . Así que la única definición de convergencia que tiene sentido aquí es la $C_K$ convergencia. La definición 4 es coherente con las demás definiciones de convergencia vaga porque las combinaciones lineales de $\mathbf 1_{[a;b[}$ son densos en $C_0$ y porque la secuencia $(\mu_n)$ está limitada.

Si lee francés puede obtener más información en http://www.proba.jussieu.fr/cours/dea/telehtml/telehtml.html