Toda vecindad de identidad en un grupo topológico contiene el producto de una vecindad simétrica de identidad.

Question

Sea $(G,\cdot)$ sea un grupo topológico y $U$ sea una vecindad de $1$ . Entonces existe una vecindad simétrica de $1$ , $V^{-1} = V$ tal que $V\cdot V \subset U$ . Me cuesta probarlo. $V^{-1} = \{v^{-1}: v \in V\}$ . Sé que un conjunto abierto veces cualquier conjunto también es abierto. Y una pista es que $VV^{-1}$ es simétrica y una vecindad abierta de $1$ cuando $V$ es una vecindad abierta de $1$ contenida en $U$ pero mostrando $VV^{-1}$ o una expresión que lo implique es un subconjunto de $U$ o $V$ requiere algo más.

Answer 1

Utilice que la multiplicación es continua y $1\cdot1=1$ . Sea $U$ sea una vecindad de $1$ . Por continuidad hay barrios $A,B\ni1$ tal que $AB\subseteq U$ . Sea $W=A\cap B$ y luego $V:=W\cap W^{-1}$ es una vecindad simétrica de $1$ tal que $VV\subseteq U$ .

Answer 2

Tomemos la función continua $m:G\times G\to G$ donde $(x,y)\mapsto xy$ . Entonces $m^{-1}(U)$ está abierto y se asigna a $U$ . Podemos entonces tomar una vecindad de $1$ digamos $V$ tal que $V\times V\subseteq m^{-1}(U)$ (ya que $m^{-1}(U)$ es abierta utilizando la topología del producto). Sustituyendo $V$ con $V\cap V^{-1}$ podemos suponer que $V$ es simétrica. Por lo tanto $m(V,V)=VV\subseteq U$ y $V$ es simétrica.