Halla dos puntos de dos rectas del plano en los que la recta que une ambos puntos pase por un tercer punto y equidistan de él

Question

Tengo la siguiente situación (ver foto abajo). Tengo dos líneas $B$ , $C$ en el plano, el punto de intersección $a$ y un punto $p$ . Necesito encontrar los puntos $b$ y $c$ a lo largo de $B$ y $C$ tal que la línea $A$ pasa por $p$ y los dos segmentos a cada lado de $p$ ( $pb$ y $pc$ ) tienen la misma longitud, es decir, que $l_1 = l_2$ .

He intentado establecer varios sistemas de ecuaciones con tres incógnitas (las longitudes $|bc|$ , $|ac|$ y $|ab|$ ), utilizando la Ley del Coseno, pero sólo obtengo ecuaciones algebraicas realmente complicadas cuando intento resolverlas.

Cualquier aportación sería útil.

Answer 1

Reflect $C$ en $p$ obteniendo la línea reflejada $C'$ . Sea $c$ sea la intersección de $C'$ y $B$ .

Answer 2

Intenté utilizar la geometría analítica, aprovechando el hecho de que siempre se puede situar $a$ en el origen y $p$ en $(0,1)$ en coordenadas cartesianas. A continuación, las dos líneas $B$ y $C$ son simplemente de la forma $y = \alpha_b x$ y $y = \alpha_c x$ y línea $A$ es $y = \alpha_a x + 1$ hemos resuelto el problema si determinamos $\alpha_a$ en términos de $\alpha_b$ y $\alpha_c$ ya que siempre podemos girar y reescalar nuestro problema original para ajustarlo a este patrón.

Bien, $$ A \cap B = \left( \frac{1}{\alpha_b - \alpha_a},\frac{\alpha_b}{\alpha_b - \alpha_a} \right) \\ A \cap C = \left( \frac{1}{\alpha_d - \alpha_a},\frac{\alpha_c}{\alpha_d - \alpha_a} \right) $$ Ahora escribimos las expresiones para $|pa|^2$ y $|pb|^2$ y multiplicar en cruz por el producto de los denominadores, para obtener $$ (\alpha_b-\alpha_a)^2 (1+\alpha_a^2) = (\alpha_c-\alpha_a)^2 (1+\alpha_a^2)$$ Entonces $$(\alpha_b-\alpha_a)^2 = (\alpha_c-\alpha_a)^2 \\ \alpha_a = \frac{\alpha_b+\alpha_c}{2}$$ Vaya, vaya, qué agradable sorpresa. La construcción geométrica de la línea $A$ punto determinado $p$ y líneas $B$ y $C$ que pasa por el punto $a$ ahora está claro:

• Construir línea $ad \perp pa$ ; $d$ puede ser cualquier punto arbitrario de esta línea distinto de $a$ .
• Construir línea $fd \perp ad$ . Etiquetar la intersección de $df$ con línea $B$ como $e$ y la intersección de $fd$ con línea $C$ como $f$ .
• Construir punto $g$ como punto medio del segmento $ef$ .
• Trazar línea $ag$ .
• Construir una línea que pase por $p$ que es línea exterior $ag$ paralela a la línea $ag$ . Etiqueta esa línea $A$ porque es la línea deseada.

Answer 3

Puedes asegurar distancias iguales considerando círculos alrededor del punto $P$ y luego buscar los puntos de intersección $B$ y $C$ con las líneas $c$ y $b$ .

(Nota: utilizo mayúsculas para los puntos y minúsculas para las líneas).

He aquí algunas de ellas:

La cuestión interesante es si tenemos un círculo de radio $R$ para los que los vectores $u = PB$ y $v = PC$ son antiparalelas $u = -v$ .

La buena noticia para esta imagen es que debería haber uno, como muestran los casos verde y azul claro, debería haber un círculo factible en medio.

No sé una buena manera constructiva cómo encontrar ese círculo, en el escenario anterior se trataría de un círculo y ver si las líneas a lo largo de $PB$ y $PC$ son idénticos. O uno podría mirar, si la línea a través de $BC$ se cruza con $P$ .

Otro criterio analítico sería que el área del triángulo $PBC$ desaparece.