Concavidad de una función de valor real

Question

Estudio las funciones de utilidad de von Neumann-Morgenstern. La concavidad de la utilidad instantánea es importante en la definición de la aversión al riesgo. Me gustaría caracterizarla. Debería ser una pregunta fácil, pero no he sido capaz de responderla.

Supongamos que $u:R\to R$ es una función continua creciente que tiene la siguiente propiedad: $\forall x,\ \forall \epsilon>0\ \ u(x)\geq \frac{1}{2}u(x-\epsilon)+\frac{1}{2}u(x+\epsilon)$ . Es $u(x)$ ¿Cóncavo?

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Su condición es la misma que decir que para todos $x, y\in \mathbb R$ tenemos

$$u\bigg(\frac{x+y}{2} \bigg) \geq \frac{1}{2} u(x) + \frac{1}{2} u(y).$$

Utilizando la inducción, se puede demostrar que

$$u(px + (1-p)y) \geq pu(x) + (1-p)u(y)$$

donde $p$ es de la forma

$$p = \sum_{i=1}^N \frac{c_i}{2^i},$$

donde $N\in \mathbb N$ y $c_i=0$ o $1$ . Por ejemplo, para $p = \frac{3}{4}$ tenemos

$$u\bigg(\frac{3}{4} x + \frac{1}{4}y\bigg) = u\bigg(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\big(\frac{x+y}{2}\big) \bigg)\geq \frac{1}{2}u(x) + \frac{1}{2} u\bigg(\frac{x+y}{2}\bigg) \geq \frac{3}{4} u(x) + \frac{1}{4}u(y)\ .$$

El conjunto de todos los $p$ es denso en $[0,1]$ por tanto, por continuidad de $u$ ,

$$u(rx + (1-r)y) \geq ru(x) + (1-r)u(y)$$

para todos $r\in [0,1]$ . Así que $u$ es cóncava.