Empecemos por decir que soy de los que creen que cuantas más matemáticas conozcas mejor.
Dicho esto, basándome en lo que parece que son tus intereses, creo que podrías estar interesado en aprender bastante teoría de categorías. La teoría de categorías fue desarrollada originalmente por Eilenberg y Mac Lane para abordar problemas de topología algebraica y álgebra homológica. Estas dos áreas de las matemáticas siguen ahora impulsando el desarrollo de la teoría de categorías y de hecho aportan al estudio de nuevas estructuras como las categorías modelo para el estudio de la teoría de la homotopía en contextos diferentes al espacio topológico, permitiendo también aplicar la técnica homotópica a otros campos de investigación.
Al mismo tiempo, tanto la topología algebraica como el álgebra homológica se desarrollan utilizando el lenguaje de la teoría de categorías, por lo que se hace necesario conocer bastante la teoría de categorías para trabajar en estos campos. Por supuesto que si quieres avanzar en estudios avanzados de geometría es muy probable que tengas que buscar en estos campos y para ello tendrás que aprender algo de teoría de categorías.
Por supuesto, hay otras partes de las matemáticas que utilizan la teoría de categorías, por ejemplo, la geometría algebraica, en particular la teoría de esquemas, que utiliza masivamente muchas herramientas categóricas, y también la lógica, pero no quiero profundizar en esto.
Sin embargo, yo personalmente doy otra buena razón para estudiar un poco de teoría de categorías: el uso de la teoría de categorías enseña a pensar de una manera teórica de flechas y, lo que es más importante, el uso del lenguaje categórico aclara alguna conexión íntima entre diferentes objetos en las matemáticas. Muchas construcciones clásicas que se realizan en algunas categorías se generalizan muy fácilmente a muchas categorías (aunque a veces se requiere alguna estructura adicional en la categoría). Esto significa que es posible generalizar muchos resultados a muchos contextos utilizando el lenguaje de las categorías. Es más, a veces mirar la definición de un objeto en algún contexto desde un punto de vista categórico puede facilitar la comprensión de dicha definición: estudiando algún tema nuevo he experimentado personalmente una buena mejora en la comprensión de los nuevos objetos estudiados cuando he traducido todo el material en lenguaje categórico, porque muchas construcciones eran similares a otras construcciones que había visto en diferentes contextos. Por supuesto, esto es sólo una opinión personal y una experiencia personal, pero creo que vale la pena intentar aprender algo de teoría de categorías.
Al final una sugerencia, intenta aprender toda la teoría de categorías que puedas. Si a veces te quedas atascado no te molestes demasiado, sigue con tu estudio que lo demás se aclarará más adelante cuando lo necesites o cuando tus conocimientos matemáticos crezcan.
Espero que esto ayude.
