Sí, es cierto (si sustituimos $2^d$ a $2d$ ). Si la gama de $P-\lambda$ no es denso, existe un funcional lineal acotado $\eta\in \ell^\infty=(\ell^1)^*$ que desaparece en este rango. En otras palabras, existe una función acotada no idénticamente nula $\eta$ en $\mathbb{Z}^d$ que satisface $P^*\eta=P\eta=\lambda\eta$ . Consideremos dos casos.
1) $|\lambda|>1$ . Tenga en cuenta que $\eta(x)=\lambda^{-1}(2d)^{-1}\sum_{y\sim x} \eta(y)$ la suma de los coeficientes de la derecha es $\lambda^{-1}$ . Iterando esto, vemos que cada $\eta(x)$ es una combinación lineal de otros valores de $\eta$ con suma de coeficientes $\lambda^{-n}$ para cualquier $n$ . Desde $\lambda^{-n}$ tiende a 0 y $\eta$ está acotada, concluimos que $\eta\equiv 0$ una contradicción.
2) $\lambda$ no es real. Denotemos $\mu=2d \lambda$ . Tome grandes $N$ y denota $\Omega_N=[-N,N]^d\cap \mathbb{Z}^d$ . Considere la suma $S_n=\sum_{x\in \Omega_N,y\sim x} \eta(y)\overline{\eta(x)}$ . Es igual, si sustituimos $\sum_{y\sim x} \eta(y)$ a $\mu \eta(x)$ a $S_n=\mu\sum_{x\in \Omega_n}|\eta(x)|^2$ . Por otro lado, todas las aristas internas tienen contribución real a esta suma. Para las aristas límite se utiliza una estimación $2|\eta(y)\overline{\eta(x)}|\leqslant |\eta(x)|^2+|\eta(y)|^2$ . Entonces denotando $\mu=u+iv$ y tomando la parte imaginaria, obtenemos $|v|\sum_{x\in \Omega_n} |\eta(x)|^2\leqslant 2\sum_{x\in \Omega_{n+1}\setminus \Omega_{n-1}} |\eta(x)|^2$ . Ahora denotemos $a_n=\sum_{x\in \Omega_n} |\eta(x)|^2$ . Esta secuencia es positiva para grandes $n$ aumenta y satisface una desigualdad $a_{n+1}-a_{n-1}\geqslant ca_n$ para ciertos positivos $c=|v|/2$ . Se deduce por inducción que $a_n\geqslant c_0 \rho^n$ donde $\rho >1$ es una raíz de $\rho ^2-1=c\rho$ . Por otra parte, dado que $\eta$ está limitada, $a_n=O(n^d)$ . Una contradicción.
