Cartografías PDE de Evans en espacios mejores

Question

Evans PDE capítulo 5.9 teorema 4 (mapeos en mejor espacio), Evans escribió en la prueba:

Además, $\bar{u}^{'}\in L^2(0,T;L^2(V))$ con la estimación:

\begin{equation} ||\bar{u}^{'}||_{L^2(0,T;L^2(V))}\leq C||u^{'}||_{L^2(0,T;L^2(U))} \end{equation}

Esto se deduce si consideramos cocientes de diferencias en la variable t, recordamos los métodos de 5.8.2, y observamos también que $E$ es un operador lineal acotado de $L^2(U)$ en $L^2(V)$ .

Quién puede dar algún detalle sobre esto, no lo entiendo. Cualquier sugerencia puede ser útil.

Gracias a todos.

Answer 1

A partir del teorema 3 (ii) de la sección 5.8.2, sólo tenemos que demostrar que $$ \Vert D^h\bar{u}\Vert_{L^2(0,T;L^2(V))}\leq C\Vert u^{'}\Vert_{L^2(0,T;L^2(U))}. $$ Desde $\bar{u}=Eu$ y $E$ es un operador lineal acotado, $$ \Vert D^h\bar{u}\Vert_{L^2(0,T;L^2(V))}\leq C\Vert D^hu\Vert_{L^2(0,T;L^2(U))}. $$ A partir del teorema 3 (i) de la sección 5.8.2, tenemos $$ \Vert D^hu\Vert_{L^2(0,T;L^2(U))}\leq C\Vert u^{'}\Vert_{L^2(0,T;L^2(U))}. $$ La prueba se completa combinando las dos desigualdades anteriores.