Explique por qué la inducción transfinita no asume que una propiedad debe ser verdadera para cero.

Question

¡¡¡ESTA PREGUNTA NO ES UNA DUPLICADO DE ESTA!!!

Así que me gustaría discutir la siguiente demostración de inducción transfinita que se toma del texto Introducción a la teoría de conjuntos escrito por Karell Hrbacek y Thomas Jech: si te interesa aquí puedes encontrar el texto original de la demostración.

Teorema

Sea $\pmb P(x)$ una propiedad y supongamos que si $\alpha$ es un número ordinal tal que $\pmb P(\beta)$ es verdadero para todo $\beta\in\alpha$ entonces también $\pmb P(\alpha)$ es verdadero: entonces si esto sucede, $\pmb P(\alpha)$ es verdadero para todos los ordinales.

Prueba. Si $\pmb P(x)$ no fuera verdadero para algún $\alpha$, entonces el conjunto $$ F:=\big\{\beta\in\alpha+1:\neg P(\beta)\big\} $$ no estaría vacío, por lo que por el buen orden de $\alpha+1$ tendría un elemento mínimo $\beta_0$ y este sería tal que $\pmb P(\beta)$ es verdadero para todos los $\beta<\beta_0$, por lo que por la hipótesis $\pmb P(\beta_0)$ debería ser verdadero y claramente esto es imposible: así que concluimos que $\pmb P(x)$ es verdadero para todos los ordinales.

Entonces, si $\beta_0$ no es cero, seguramente cualquier ordinal $\beta$ menor que $\beta_0$ verifica $\pmb P(x)$, pero en mi opinión esto es seguro solo asumiendo que $P(0)$ es verdadero: sin embargo, cualquier autor asume como hipótesis que $0$ verifica la propiedad $\pmb P(x)$ así que pido clarificación al respecto; además, el mismo problema existe en la prueba vinculada donde creo que es necesario asumir que $\pmb P$ es verdadero para el mínimo de $C$ donde señalo que $C$ es un conjunto bien ordenado general. Entonces, ¿podría alguien explicar por qué el teorema no asume que $P(0)$ es verdadero, por favor?

Answer 1

Supongamos que $P(x)$ es una propiedad como se afirma, es decir, para todos los ordinales $\alpha$ si para todos los ordinales $\beta < \alpha$ tenemos que $P(\beta)$ es verdadero, entonces se sigue que $P(\alpha)$ es verdadero.

Si examinamos esto con $\alpha= 0$, entonces tenemos la afirmación "Si para todos $\beta < 0$, $P(\beta)$ es verdadero, entonces $P(0)$ es verdadero". Esta afirmación es una implicación. Su antecedente es "para todos $\beta < 0$, $P(\beta)$ es verdadero". Dado que no hay $\beta < 0$, la afirmación es verdaderamente cierta. Por lo tanto, llegamos a concluir el consecuente: que $P(0)$ es verdadero.

Así, esta formulación de la inducción transfinita implica que $P(0)$ es verdadero.

He encontrado que a los estudiantes les gusta más la siguiente formulación equivalente: Si $P(x)$ es una propiedad tal que

• $P(0)$ es verdadero.
• Para cada ordinal $\alpha$, si $P(\alpha)$, entonces $P(\alpha + 1)$.
• Si $\beta$ es un ordinal límite (no nulo) y $P(\alpha)$ es verdadero para todos los $\alpha < \beta$, entonces $P(\beta)$ es verdadero.

Entonces $P(x)$ es verdadero para todos los ordinales.