Integrales de superficie cerradas

Question

¿Puede alguien darme pistas para resolver la siguiente pregunta?

Necesito encontrar la integral de superficie cerrada (usando el teorema de divergencia) de

$$\oint \vec{r} (\vec{a} \cdot \vec{n}) da$$

donde $\vec{n}$ es el vector unitario que apunta hacia el exterior de la superficie S alrededor del volumen V y $\vec{r}$ es el radio vector y $\vec{a}$ es un vector constante

Gracias.

Answer 1

Estoy un poco inseguro, si trato el radio vector correctamente, y asumo que $da$ es un elemento de superficie de $S$ y no tiene nada que ver con el vector constante $a$ así que podría ser así: $$ \int r (a \cdot n) da = \\ \int (x e_x + y e_y + z e_z) (a \cdot n) da = \\ e_x \int x (a \cdot n) da + e_y \int y (a \cdot n) da + e_z \int z (a \cdot n) da = \\ e_x \int ((xa) \cdot n) da + e_y \int ((ya) \cdot n) da + e_z \int ((za) \cdot n) da = \\ e_x \int (\mbox{div } x a) dV + e_y \int (\mbox{div } y a) dV + e_z \int (\mbox{div } z a) dV = \\ e_x \int a_x dV + e_y \int a_y dV + e_z \int a_z dV = \\ \int (e_x a_x + e_y a_y + e_z a_z) dV = \\ \int a dV = \\ V a $$