Secuencia exacta en cohomología étale relacionada con morfismo birracional propio

Question

Sea f:X→Y un morfismo birracional propio entre dos variedades cuasiproyectivas sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ . Me interesa especialmente el caso en que la característica de $k$ es positiva; Y es singular, X es lisa y tanto X como Y no son proyectivas.

Sea D un subconjunto cerrado de Y, sea E=f -1 (D) y supongamos que f| _{X \E} :X \E →Y \D es un isomorfismo.

Basándome en resultados en característica 0 (y en resultados sobre cohomología rígida) espero que exista una larga secuencia exacta de grupos de cohomología étale

H i (Y,ℚ _l )→ H i (X,ℚ _l )⊕ H i (D,ℚ _l )→ H i (E,ℚ _l )→ H i+1 (Y,ℚ _l ).

Esperaba que esta secuencia exacta fuera bien conocida y apareciera en un texto estándar, pero tuve problemas para identificar dicho texto. Se me ocurre una prueba utilizando la versión étale de Cox de vecindades tubulares para E en X y D en Y, y tal vez se puedan comparar utilizando las secuencias de Mayer-Vietoris en cohomología étale, pero tal prueba parece bastante complicada (hay que definir la imagen de una nhd tubular étale bajo un morfismo adecuado (lo que me parece no trivial) y comprobar que para ciertas secuencias exactas tomando límites directos o proyectivos resulta ser un functor exacto).

Antes de trabajar en los detalles me gustaría preguntar si alguien conoce una referencia para la secuencia anterior o conoce una prueba más simple /nicer.

Answer 1

Sea $V := X\setminus E$ y $U := Y\setminus D$ y $j\colon U \rightarrow Y$ y $k\colon V \rightarrow X$ las inclusiones. Tenemos secuencias exactas $\cdots\rightarrow H^\ast(X,k_!\mathbb Z_\ell)\rightarrow H^\ast(E,\mathbb Z_\ell)\rightarrow H^\ast(X,\mathbb Z_\ell)\rightarrow\cdots$ y una similar para $Y$ , $D$ y $j$ . Además, $f$ induce un mapa de estos largos exactos largas. Un diagrama de persecución estándar (también utilizado, por ejemplo, para la secuencia de Mayer-Vietoris de la escisión) se puede utilizar para mostrar que para obtener la secuencia exacta deseada basta con demostrar que $f$ induce un isomorfismo $H^\ast(Y,j_!\mathbb Z_\ell)\rightarrow H^\ast(X,k_!\mathbb Z_\ell)$ . Tenemos que $H^\ast(X,k_!\mathbb Z_\ell)=H^\ast(Y,Rf_\ast k_!\mathbb Z_\ell)$ pero $f$ es adecuado para que $Rf_\ast k_!\mathbb Z_\ell=f_!k_!\mathbb Z_\ell$ . Sin embargo, $f_!k_!=(fk)_!=(jf')_!=j_!f'_!$ donde $f'=f_{|V}$ y como $f'$ es un isomorfismo tenemos $f'_!\mathbb Z_\ell=\mathbb Z_\ell$ .