Supongamos que $v$ y $w$ son linealmente independientes. Demuestre que el producto cruzado de $v$ y $w$ es linealmente independiente.

Question

Supongamos que $v$ y $w$ son linealmente independientes. Demuestre que el producto cruzado de $v$ y $w$ es linealmente independiente.

Entiendo cómo calcular el producto cruz de dos vectores linealmente independientes y he comprobado que el resultado es linealmente independiente. No entiendo cómo construir una demostración abstracta para representar todos los casos y responder a la pregunta.

Saludos

Answer 1

Demuestre que el producto cruzado $v\times w$ es ortogonal a $v$ y $w$ . Desde $v$ y $w$ son linealmente independientes, esto implica que los tres vectores son linealmente independientes. Supongamos que $$ c_1v+c_2w+c_3(v\times w)=0\tag{0} $$ para algunos $c_i$ . A continuación, tomamos el producto interior con respecto a $v\times w$ de ambas partes para obtener que $$ c_3|v\times w|^2=0 $$ así que $c_3=0$ (ya que $v\neq 0$ y $w\neq 0$ ). Por lo tanto $(0)$ se convierte en $$ c_1v+c_2w=0. $$ Pero $v$ y $w$ son linealmente independientes por lo que $c_1=c_2=c_3=0$ como desee.

Answer 2

Supongamos que $ w, v, w \times v$ eran linealmente dependientes. Entonces existen escalares a y b tales que $$ aw + bv = w \times v $$

"Dot producting" ambos lados de esta ecuación con $w \times v$ da $0$ en un lado y un número positivo en el otro.

Answer 3

Se puede definir el producto cruzado de $\vec a$ y $\vec b$ sea un vector perpendicular a ambos $\vec a$ y $\vec b$ con el regla de la mano derecha utilizado para determinar la dirección, y magnitud igual al área del paralelogramo comprendido entre $\vec a$ y $\vec b$ Eso es, $\mid \vec a\mid\mid \vec b\mid\sin\theta$ donde $\theta$ es el ángulo entre ellos.

Si utilizamos esta definición, ya hemos terminado.

Según Wikipedia, la equivalencia con la definición de determinante no es tan fácil.

Answer 4

Cuando los vectores a y b son ortogonales entonces

$a.b = 0$ y a y b son linealmente independientes, es decir. $a+b \ne 0$ .

Ahora v y w son linealmente independientes por lo que $k_1v+k_2w \ne 0$ tomamos el producto punto de este vector distinto de cero con el producto cruz de v,w digamos u.

$u.(k_1v+k_2w) = k_1u.v+k_2u.w$ ahora como u es ortogonal a v y w tenemos $u.(k_1v+k_2w) = k_1u.v+k_2u.w = 0 + 0 = 0$

Así que $u+(k_1v+k_2w)\ne 0$ lo que equivale a $k_3u+k_1v+k_2w\ne 0$

(porque si $k_3u+k_1v+k_2w= 0$ entonces asumiendo $k_3$ es distinto de cero, $u+(k_1/k_3)v+(k_2/k_3)w= 0$ )

que indica $u,v,w$ son linealmente independientes.