¿Existen campos de las matemáticas académicas cuyo estatus epistémico como matemáticas sea controvertido dentro de la comunidad académica?

Question

La teoría de cuerdas (y las áreas relacionadas de la gravedad cuántica puramente teórica, como la gravedad cuántica de bucles) ocupa una posición única dentro de la comunidad de físicos académicos. Muchos físicos académicos no consideran que la teoría de cuerdas sea física en absoluto (debido a su desconexión con cualquier prueba experimental) y piensan que debería considerarse más bien una rama de la filosofía o las matemáticas. Otros académicos sostienen firmemente la opinión contraria.

¿Existe alguna rama de las matemáticas académicas sobre la que exista una controversia similar en cuanto a si constituye una rama de las matemáticas en sí misma, en contraposición a la filosofía u otro campo?

Permítanme aclarar el alcance de esta pregunta:

1. Excluye la cuestión de si es útil separar las matemáticas puras de las aplicadas. Tampoco incluye la cuestión de si ciertos temas matemáticos en aplicado matemáticas están tan estrechamente asociadas a un campo de aplicación (por ejemplo, la biología computacional) que deberían agruparse dentro de ese tema (por ejemplo, la biología) y no dentro de las matemáticas. En cambio, me centro en la frontera entre puro matemáticas y (por ejemplo) filosofía.
2. También excluye la cuestión de si algún axioma matemático específico (por ejemplo, el axioma de elección) "debería" incluirse en el conjunto de axiomas que se suelen asumir, o la cuestión de cuál es el "mejor" sistema de axiomas matemáticos.
3. La cuestión real de si la teoría de cuerdas debe considerarse una rama de la física está fuera de lugar. Del mismo modo, la cuestión real de si un campo académico determinado de las matemáticas debe contar como matemáticas está fuera del alcance. En su lugar, estoy preguntando acerca de si hay consenso en la comunidad académica que el campo debe contar como matemáticas. Se trata de una cuestión sociológica que, aunque quizá sea algo subjetiva en cuanto al término "consenso", es en última instancia una cuestión de hecho.

Answer 1

Hay algunos conceptos matemáticos especulativos que me vienen a la mente, como el campo de un elemento o motivos aunque quizás sean más clasificables como "matemáticas futuras en potencia" que como "no matemáticas en absoluto", y ciertamente estos temas especulativos tienen al menos inspirado la creación de matemáticas convencionales y comúnmente aceptadas (teoremas rigurosos, aplicaciones a otros campos de las matemáticas, conjeturas precisas, reelaboraciones conceptuales de teorías existentes, etc.). [Y los motivos pueden estar actualmente en transición de las "matemáticas potenciales del futuro" a las "matemáticas reales"; dejaré que los expertos en la materia opinen más a fondo al respecto].

Un ejemplo más controvertido podría ser teoría interuniversal de Teichmüller donde existe un auténtico debate sobre si se trata de "matemáticas reales", "matemáticas potenciales del futuro" o "no son matemáticas en absoluto".

Si pasamos de los subcampos de las matemáticas a las modalidades de las matemáticas, en el pasado reciente se han producido algunos debates sobre si matemáticas experimentales o pruebas asistidas por ordenador se consideran matemáticas "reales", pero creo que el consenso predominante hoy en día (me refiero a la última década) es que, en términos generales, entran dentro del ámbito de las matemáticas. (Aunque quizá estos debates puedan reavivarse en los próximos años si las conjeturas generadas por IA y/o las demostraciones generadas por IA de nuevos teoremas matemáticos se convierten en algo habitual). Si nos remontamos aún más atrás en el tiempo, tenemos, por supuesto, algunos debates venerables sobre el uso de métodos no constructivos (cf. Cita de Gordan en que la prueba de Hilbert de su teorema de la base es teología y no matemáticas), los infinitos de la teoría de conjuntos, la geometría no euclidiana, los números complejos, etc., aunque de nuevo el consenso moderno es muy favorable a clasificar todos estos métodos y conceptos como parte del campo de las matemáticas. (cf. la cita posterior de Gordan -recogida por Klein- sobre haberse convencido de que la teología tiene sus ventajas).

Por último, en la década de 1990, el tema de la Códigos bíblicos / códigos de la Torá atrajo brevemente cierto interés matemático académico (y controversia), pero sería exagerado considerarlo un "campo de las matemáticas académicas" en la actualidad.

EDIT: a la inversa, no cabe duda de que hay disciplinas que suelen alojarse fuera de los departamentos académicos de matemáticas y que tienen muchas posibilidades de ser consideradas de naturaleza principalmente matemática. Informática teórica es un ejemplo que me viene a la mente; puede haber otros.

SEGUNDA EDICIÓN: Sección 19 (Educación Matemática y Divulgación de las Matemáticas) y Sección 20 (Historia de las Matemáticas) del (2022) Congreso Internacional de Matemáticos. están ambos dedicados a campos que, ciertamente, se podría argumentar que no tienen el estatus epistémico de las matemáticas, pero que siguen siendo campos perfectamente válidos de estudio académico, y que son los intereses principales o secundarios de un número no trivial de profesores en los departamentos de matemáticas. Sin embargo, la calificación de "campos de las matemáticas académicas" depende de las definiciones de cada cual.

TERCERA EDICIÓN: El Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros (OEIS) no es, estrictamente hablando, un campo, pero cuenta con una comunidad activa de matemáticos profesionales y aficionados que contribuyen a él, y se utiliza ampliamente en la comunidad matemática académica. Se podría plantear la cuestión filosófica de si contribuir a la OEIS es una actividad a la que se puede atribuir el estatus epistémico de "matemáticas". Se podrían plantear preguntas similares para las comunidades centradas en el desarrollo de software matemático, como por ejemplo ayudantes de pruebas . Sin embargo, mi opinión personal es que hay que inclinarse por una visión "amplia" de las matemáticas y que un excesivo control de lo que se considera "auténticas" matemáticas podría ser perjudicial para el progreso en este campo.

Answer 2

La pregunta "¿son matemáticas?" tiene varias dimensiones posibles.

1. ¿Pertenece al departamento de matemáticas? Creo que sobre todo quieres excluir esta dimensión, por tu comentario sobre las matemáticas puras frente a las aplicadas. Pero ha mencionado la filosofía, ¿qué hay de la lógica? En algunas universidades, los lógicos trabajan en el departamento de filosofía, mientras que en otras lo hacen en el de matemáticas. En muchos casos, la decisión se basa en consideraciones similares a las que se utilizan para trazar la línea divisoria entre matemáticas puras y aplicadas. Lo mismo puede decirse de otras materias como la estadística, la informática o la investigación operativa.

2. ¿Hay que cumplir ciertas normas de profesionalidad para que algo cuente como matemáticas? El ámbito de matemáticas recreativas Algunos consideran que "no son matemáticas de verdad" por su falta de seriedad o erudición. Hoy en día no es muy polémico decir que la teoría de grafos y la combinatoria forman parte de las matemáticas, pero, por ejemplo, Euler no creía que el famoso problema de los puentes de Königsberg fuera realmente una cuestión matemática, y Gian-Carlo Rota solía quejarse de que la combinatoria se considerara durante mucho tiempo una "asignatura de Mickey Mouse". En una línea similar, algunos matemáticos dirán que el contenido de las clases de primaria que instruyen a los alumnos en la mecánica de los algoritmos aritméticos "no es realmente matemáticas". Por supuesto, no están diciendo que dicho contenido debería enseñarse en clase de inglés o de música; más bien, están diciendo que hasta que el contenido no cruza cierto umbral de sofisticación, no cuenta como "matemáticas de verdad." Estos debates pueden llegar a ser acalorados y tener importantes consecuencias en el mundo real, pero sospecho que esta no es la dimensión que te interesa principalmente.

3. ¿Debe algo satisfacer ciertas normas de rigor para contar como matemáticas? Me gusta citar el artículo de Jaffe y Quinn sobre matemáticas teóricas como ejemplo de debate sobre el rigor. Esto parece lo más parecido a lo que preguntas. Cuando Witten ganó la medalla Fields, algunos se preguntaron si su trabajo era matemático, no sólo porque se basaba en la física teórica, sino porque muchos de sus argumentos no obedecían a los cánones habituales de rigor en matemáticas. No obstante, Jaffe y Quinn son no argumentando que las "matemáticas teóricas" no son matemáticas reconocen que se trata sin duda de matemáticas, y sólo plantean cuestiones sobre el papel del rigor en las matemáticas. Del mismo modo, cuando Zeilberger argumenta a favor de matemáticas semirrígidas se ocupa principalmente de qué constituye una prueba satisfactoria y no qué son las matemáticas . Por otro lado, la gente que se queja de las pruebas asistidas por ordenador no suele decir que la asistencia informática hace que algo ya no cuente como matemáticas.

Answer 3

Tengo la impresión de que la relación entre estadística y matemáticas no está del todo consensuada (por ejemplo, una búsqueda rápida en Google de "es estadística matemática" da tanto rotundamente "la estadística es una rama de las matemáticas" como "no, la estadística no es matemática", Wikipedia tiene "Algunos consideran que la estadística es una ciencia matemática distinta y no una rama de las matemáticas. ").

Para aclarar, creo que poca gente discutiría que lo que se suele llamar "estadística matemática" no son matemáticas. El debate se centra, AFAIK, en el estatus de cosas como el diseño experimental, que proporciona la base para conectar la estadística matemática con el mundo real: hay un nivel de formalidad y pensamiento matemático implicado, pero también hay claramente consideraciones no matemáticas.

Answer 4

Sin duda, hay subdisciplinas que a veces se agrupan en departamentos académicos de matemáticas, o que estudian matemáticos académicos, y que requieren cierto nivel de comprensión matemática para su estudio, pero cuya naturaleza no implica demostración matemática o modelización matemática y, por tanto, podría considerarse razonablemente que "no son realmente matemáticas". Me vienen a la mente la educación matemática, la filosofía de las matemáticas y la historia de las matemáticas.

Answer 5

Supongamos que $X_1,\ldots, X_n$ son observaciones independientes de una población distribuida normalmente, y $Y_1,\ldots,Y_m$ de otro (y $m,n$ pueden diferir). ¿Qué se puede deducir de la diferencia entre las medias de las dos poblaciones?

Es el problema Behrens-Fisher. Como se ha dicho, no es un problema matemático definido con precisión. Pero es sin duda un problema estadístico. ¿Es "definido con precisión" una característica esencial de un problema matemático?

El físico Edwin Jaynes planteó este problema: Una cuerda muy floja de longitud $\ell$ se tira al suelo con muy poca habilidad. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de la distancia entre sus dos extremos? Que es, en comparación con el problema Behrens-Fisher, un problema matemático definido con precisión. Se supone que tienes que averiguar con precisión lo que tenía en mente. Pero el problema de Behrens-Fisher puede modelizarse de muchas maneras, y cualquier afirmación de que un problema matemático utilizado para modelizarlo es el "correcto" es una afirmación filosófica.

Dudo en publicar este ejemplo porque no estoy preparado para explicar en qué consisten esos planteamientos. Lo que se recomienda en los libros de texto publicados recientemente para el uso de usuarios de estadística sin inclinación matemática implica estimar las dos varianzas por separado y utilizar valores críticos de la distribución t de Student con un número no entero de grados de libertad que viene determinado por los datos, es decir, por $X_1,\ldots,X_n,Y_1,\ldots,Y_m.$ Y otros dicen que hay que utilizar una distribución condicional de la diferencia entre medias dados los datos, lo que requiere una distribución a priori posiblemente muy vaga. Y aún hay otras propuestas. Y cada una de ellas conduce a una solución que se encuentra recurriendo en gran medida a las matemáticas. Pero la cuestión de cuál de esos problemas matemáticos es el correcto es un problema estadístico, no matemático.

Además, el fines de la estadística son diferentes de las de las matemáticas puras.