Límites de los operadores 2-normales sobre trazas parciales de operadores linealmente relacionados

Question

Consideremos un operador arbitrario semidefinido positivo ρ, que actúa sobre ℂ A ⊗ ℂ B ⊗ ℂ C para A,B,C finito. Además, sea P un proyector ortogonal sobre ℂ B ⊗ ℂ C . En aras de la concisión, escribiré R = 1 _{ℂ ^A} ⊗ P ; esto, por supuesto, también es un proyector ortogonal. Consideremos la transformación completamente positiva

M(ρ) = (1 - R) ρ (1 - R) + R ρ R .

Como R es un proyector ortogonal, es fácil demostrar que || M(ρ) || ₂  ≤ || ρ || ₂ . Esto se debe a que podemos representar ρ como matriz en una base consistente en los vectores propios de R; si dividimos ρ en bloques según filas/columnas que representan vectores en la imagen o el núcleo de R, el efecto del mapa M es poner a cero los bloques no diagonales.

Estoy interesado en cómo el mapa M puede afectar de manera similar a la norma del operador 2 de operadores reducidos en ℂ A ⊗ ℂ B . Así que me gustaría saber:

¿Es también cierto que || tr _C ( M(ρ) ) ||| ₂  ≤ || tr _C (ρ) || ₂ - donde tr _C es el operador traza que actúa sobre ℂ C tomado en producto tensorial con 1 _{ℂ ^A} ⊗ 1 _{ℂ ^B}  ?

Answer 1

Bien, en retrospectiva resulta que el problema es trivial. La respuesta es "no": tal límite no se cumple en general.

Un contraejemplo sencillo se obtiene tomando A=1 (de modo que tratamos efectivamente con ℂ B ⊗ ℂ C en todo), B=C=2, y tomando

P = ½  ψ ψ*  donde ψ \= e ₁  ⊗  e ₂  -  e ₂  ⊗  e ₁

para vectores de base estándar e _j para ℂ 2 . Nótese que P es el proyector sobre el subespacio antisimétrico de ℂ B ⊗ ℂ C . El mapa M puede representarse como

M(ρ) = ½ ρ + ½ UρU* donde U = 1 _{ℂ ^B} ⊗ 1 _{ℂ ^C}  - 2P.

El operador U es unitario, y tiene el efecto de "intercambiar" los dos espacios B y C; es decir, para todos los productos tensoriales α ⊗ β tenemos que U( α ⊗ β ) = β ⊗ α . Podemos entonces construir un operador ρ para el que no se cumpla el límite deseado, tomando un producto tensorial de un operador con baja 2-norma con uno de alta 2-norma, p.e.

ρ = 1 _{ℂ ^B} ⊗ e ₁ e ₁ *.

Entonces tenemos tr _C (ρ) = 1 _{ℂ ^B} que tiene una norma 2 de $\sqrt 2$  y tr _C (UρU*) = 2  e ₁ e ₁ *, que tiene una norma 2 de $2$ . Por la convexidad de la norma 2, podemos demostrar que || tr _C ( M(ρ) ) ||| ₂ > || tr _C (ρ) || ₂ para esta elección de P y ρ. Se puede hacer una construcción similar para cualquier B=C>1, y dejando que P sea el proyector sobre el espacio antisimétrico de ℂ B ⊗ ℂ C  .

Ahora me interesa saber qué límites superiores pueden obtenerse para || tr _C ( M(ρ) ) ||| ₂ - ||| tr _C (ρ) || ₂ o cantidades afines, en el caso de que P sea un proyector de rango 1 sobre ℂ B ⊗ ℂ C . Si alguien puede mostrar un vínculo tan interesante, puede que lo "acepte"; pero mientras tanto, esto responde a mi pregunta original.