Lo que sigue es parte de la solución de un Ejercicio en Curvas y superficies , segunda edición, de Montiel y Ros, en el que se pide al lector que demuestre que las únicas superficies de revolución con curvatura media nula son los catenoides y los planos.
Después de calcular los componentes de la segunda forma fundamental, para la parametrización $$ X(u, v) = (x(u), y(u) \cos v, -y(u) \sin v) $$ llegamos a la condición de que la curvatura media es cero si y sólo si $$ y\left(\frac{dx}{du} \frac{d^2y}{du^2} - \frac{dy}{du}\frac{d^2x}{du^2} \right) - \frac{dx}{du} \left( \left(\frac{dx}{du} \right)^2 + \left(\frac{dy}{du} \right)^2 \right) = 0. \qquad \qquad (*) $$ Trabajando en el plató donde $dx/du \neq 0$ El libro sostiene que podemos expresar $y$ en función de $x$ ya que $x$ es invertible y, por tanto, dividiendo por $(dx/du)^3$ llegamos a $$ y y'' - 1 - (y')^2 = 0, $$ donde $y' = dy/dx$ .
Mi pregunta es:
¿Qué ha pasado con el término $\frac{dy}{du}\frac{d^2x}{du^2}$ dentro del primer paréntesis de $(*)$ ?
Gracias de antemano.
