Ejemplo de un mapa homeomórfico $T:X→Y$

Question

Definición. Sean $X$,$Y$ espacios métricos. Entonces, una aplicación $T:X\to Y$ es un homeomorfismo si $T$ es continua, abierta y biyectiva. No encuentro un contraejemplo de tales aplicaciones, ¿alguien me puede dar al menos un ejemplo donde pueda entender cómo se hace para mostrar que $T$ es un homeomorfismo? ¡Saludos!

Answer 1

¿Qué tal $X = \mathbb R$ con la topología discreta (métrica discreta) y $Y = \mathbb R$ con la topología usual (inducida por la métrica euclidiana)? Luego tomamos la aplicación identidad $id: X \to Y$. Es biyectiva y continua, pero su inversa $id: Y \to X$ no lo es: $id: Y \to X$ es abierta y biyectiva pero no continua.

Como señaló Brian en el comentario, si tomamos la función valor absoluto $|\cdot| : \mathbb Z \to \mathbb N$ y dotamos a $\mathbb Z$ y $\mathbb N$ con la topología discreta, entonces $|\cdot |$ es continua y abierta pero no biyectiva.

Espero haber entendido correctamente tu pregunta. De lo contrario, házmelo saber con un comentario y ajustaré mi respuesta.

Answer 2

Sea $X$ el espacio discreto de $N$ puntos y sea $Y$ cualquier espacio finito con $N$ puntos. Entonces cualquier biyección entre $X$ y $Y$ es homeomórfica.

Sea $X$ sea $\mathbb{R}$, y sea $Y=(0,1)$. Entonces existen biyecciones continuas $T:X\to Y$ (como $x\mapsto \tan \pi (x-0.5)$)

Answer 3

¿Estás pidiendo un ejemplo de un homeomorfismo entre dos espacios métricos? Considera una función $f: X \rightarrow Y$, y considera $X$ y el gráfico de $f$ que es simplemente $ \{(x, f(x)) \in X \times Y\}$. Entonces $X$ es homeomorfo al gráfico de $f$ bajo el mapa de proyección usual $\pi : X \times Y \longrightarrow X$.

$\textbf{Edición:}$ Por favor edita tu pregunta y hazla clara en términos de lo que estás preguntando exactamente. Puedo editar mi respuesta para que se ajuste a esto.