¿Cuál es el "estatus" de la regla según la cual la multiplicación precede a la suma?

Question

¿Cuál es el origen, o el "estado", de la regla según la cual la multiplicación se realiza antes que la suma?

¿Es una propiedad definitiva de $\mathbb R$ propiedad que puede deducirse directamente de la definición de $\mathbb R$ ¿o simplemente una convención notacional (universal pero arbitraria)?

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Por ejemplo, en la obra de Spivak Cálculo (4E, p. 7) la ley distributiva ("P9") se enuncia como $$a \cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c \text{ ,}$$ que se entiende simplemente, sin más justificación, como $$a \cdot (b+c) = (a\cdot b) + (a\cdot c)\text{ .}$$ ¿Debería haberse derivado esta interpretación de las propiedades de la $\mathbb R$ ¿o simplemente se asume como un conocimiento compartido?

Answer 1

Estas reglas de precedencia de operadores no son más que sintáctico convenciones que se adoptan por comodidad. Mejoran la concisión de las expresiones comúnmente denotadas al permitir omitir algunos paréntesis, preservando al mismo tiempo único legibilidad (análisis sintáctico) de las expresiones. Por ejemplo, estas convenciones permiten la notación concisa estándar para las omnipresentes expresiones polinómicas. Para otro ejemplo, véase mi responda aquí. En otras palabras, estas convenciones sintácticas no son más que optimizaciones del lenguaje utilizado para denotar determinadas expresiones. Como convenciones, tienen poco o ningún valor semántica importancia.

[Comentario migrado a una respuesta por solicitud]

Answer 2

Tenga en cuenta que bajo una convención diferente la precedencia puede ser diferente. Por ejemplo, en notación Łukasiewicz ( Notación polaca o [R]PN) el orden de las operaciones es totalmente diferente, de hecho es trivial.

Creo que el autor de la pregunta también quería saber la fuente de tales convenios. Enlace presenta una historia bastante completa de la precedencia de los operadores y la agrupación de operaciones. Al grano:

La convención de que la multiplicación precede a la suma y la resta se utilizaba en los primeros libros que empleaban el álgebra simbólica en el siglo XVI.

Aunque la precedencia parece haber existido en su forma actual desde que se utilizan las matemáticas, hay algunas excepciones interesantes. Por ejemplo:

una notación primitiva en la que una multiplicación se sustituía por una coma para indicar agregación:

  n, n - 1 

significaría $n(n - 1)$

mientras que

 n n - 1 

quería decir $n^2 - 1$

Sin embargo - esto es sólo la historia, como @BillDubuque afirma correctamente en su respuesta, todos estos son meramente una convención notacional.

Answer 3

Que la multiplicación preceda a la suma es una convención notacional, no una proposición matemática.