Si $c | m_i$ Demostrar que $c| \sum_{i=1}^r u_i m_i$ donde $m_i,u_i,c \in \mathbb{Z}$ y $i=1,2,..,r$

Question

Sea $m_1,m_1,...,m_r,u_1,u_2,...,u_r,c \in \mathbb{Z}$ tal que $c | m_i$ para cada $i \in \lbrace 1,2,...,r \rbrace$ .

Demostrar que $c| \sum_{i=1}^r u_i m_i$

Mi intento:

Tenemos $c | m_i$ para cada $i \in \lbrace 1,2,...,r \rbrace$ entonces

$c|u_i m_i$ para cada $i \in \lbrace 1,2,...,r \rbrace$ Así pues

$\exists k_i\in \mathbb{Z}$ tal que $u_i m_i=k_i c$ , $\forall i$

entonces

$\sum_{i=1}^r u_i m_i=\sum_{i=1}^r k_i c=c \sum_{i=1}^r k_i$

y puesto que $\sum_{i=1}^r k_i \in \mathbb{Z}$ lo tenemos

$c|\sum_{i=1}^r u_i m_i$

¿Es cierto?, gracias.

Answer 1

Su prueba es totalmente correcta. También puede utilizar el hecho de que $c\mid m_i$ para deducir que $m_i=n_ic$ y, por tanto, que $u_im_i=u_in_ic$ para llegar a la misma conclusión.