Pregunta sobre la prueba del TLC

Question

Leí una breve demostración del Teorema Fundamental del Álgebra, como sigue:

Supongamos que $p(z)$ es un polinomio no constante sin raíces. Entonces $1/p$ es una función analítica en $\mathbb{C}$ . También, $1/p \to 0$ como $z \to \infty$ Así que $p$ está limitada . Por el teorema de Liouville, cualquier función analítica acotada es constante, lo cual es una contradicción.

Mi problema es que no entiendo por qué $1/p$ está limitada. ¿Podría alguien explicarme esto?

Answer 1

El valor absoluto del polinomio tiende a infinito para $\left|z\right|\to\infty$ . Es decir, para cada $M>0$ existe $R>0$ tal que para $\left|z\right|>R$ tenemos $\left|p(z)\right|>M$ . Tomar un disco cerrado suficientemente grande, de modo que $\left|p(z)\right|>1$ para $z$ fuera del disco. El disco es compacto, por lo que es imagen por $\left|p(z)\right|$ es compacta y, por tanto, cerrada. No contiene 0, por lo que está limitado lejos de 0, digamos, por $a>0$ . Así, $$ \left|1/p(z)\right|<1/a $$ dentro del disco, y $\left|1/p(z)\right|<1$ fuera.