Cómo mostrar $\lim_{x \to 1} \frac{x + x^2 + \dots + x^n - n}{x - 1} = \frac{n(n + 1)}{2}$ ?

Question

Soy capaz de evaluar el límite $$\lim_{x \to 1} \frac{x + x^2 + \dots + x^n - n}{x - 1} = \frac{n(n + 1)}{2}$$ para un determinado $n$ utilizando la regla de l'Hôspital (Bernoulli).

El problema es que no me acaba de gustar la solución, ya que depende de un armamento tan pesado. Un límite tan simple, debería ser fácilmente evaluable usando alguna idea inteligente. Aquí está una lista de lo que he intentado:

• Sustituir $y = x - 1$ . Creo que esto no lleva a ninguna parte.
• Halla el polinomio de Taylor. No tiene sentido, es un polinomio.
• Dividir por término principal. Dividiendo por $x$ no me llevó a ninguna parte.
• Encontrar el valor $f(x)$ en $x = 1$ directamente. No puedo ya que la función no está definida en $x = 1$ .
• Simplifica la expresión. No veo cómo podría.
• Utilizando la regla de l'Hôspital (Bernoulli). Funciona, pero no me acaba de gustar.

Si alguien ve una manera sencilla, por favor que me lo haga saber.

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Añadido más tarde: El enfoque propuesto por Sami Ben Romdhane es universal como asmeurer señaló. Ejemplos de otros límites que pueden resolverse fácilmente de esta manera:

• $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[m]{1 + ax} - \sqrt[n]{1 + bx}}{x}$ donde $m, n \in \mathbb{N}$ y $a, b \in \mathbb{R}$ o bien
• $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan(1 + x) - \arctan(1 - x)}{x}$ .

Parece que todos los límites de la forma $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x - a}$ donde $a \in \mathbb{R}$ , $f(a) = 0$ y para el que $\exists f'(a)$ se puede evaluar de esta manera, que es tan rápida como encontrar $f'$ y calculando $f'(a)$ .

Esto añade una herramienta muy útil a mi caja de herramientas de cálculo: Algunos límites pueden evaluarse fácilmente utilizando derivadas si se busca $f(a) = 0$ sin la regla de l'Hôspital. No he visto que esto se use mucho; propongo que lo llamemos La regla de Sami :).

Answer 1

Puedes usar la inducción:

$$\frac{x + x^2 + \dots + x^n + x^{n+1} - (n+1)}{x - 1} =\\ \frac{x + x^2 + \dots + x^n - n}{x - 1} +\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=\\ \frac{x + x^2 + \dots + x^n - n}{x - 1} +(1+x+x^2+\ldots+x^n)\xrightarrow[x\to 1]{} \frac{n(n + 1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n + 2)}{2}.$$

Answer 2

Si ya conoce la regla de l'Hopital, la respuesta de Sami Ben Romdhane no le dice nada que no sepa ya. Cuando se tiene $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x - a}$$ y $f(a) = 0$ (de lo contrario, el límite es infinito a ambos lados de $a$ ), entonces la regla de l'Hopital dice que el límite es igual a $$\lim_{x \to a}f'(x)= f'(a).$$ La única parte difícil, en este caso, es la evaluación. $f'(a)$ . Toma, $f(x) = x + x^2 + \cdots + x^n - n$ Así que $f'(x) = 1 + 2x + \cdots + nx^{n - 1}$ Así que $f'(1) = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ por una identidad famosa.

De hecho, se puede pensar en la definición de la derivada como un caso especial de la regla de L'Hopital (en realidad no lo es, porque la regla de L'Hopital depende de la definición de la derivada, y no al revés, pero es útil pensarlo así).

Answer 3

Tu objeción a utilizar la regla de l'Hospital se basa en que te parece una herramienta "demasiado poderosa" para el problema, ¿verdad?

Vayamos hasta el otro extremo, entonces, y demostremos el límite utilizando sólo el definición .

$$\lim_{x\to a} f(x) = L \iff \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 \ni \left| x-a \right| \le \delta \Rightarrow \left| f(x)-L \right| \le \varepsilon$$

Ahora, todo lo que tenemos que hacer es encontrar una manera de que siempre podamos elegir un $\delta$ lo suficientemente pequeño como para mantener la función dentro de $\varepsilon$ de $L$ .

El límite concreto en cuestión: $$\lim_{x \to 1} \frac{x + x^2 + \dots + x^n - n}{x - 1} = \frac{n(n + 1)}{2}$$

A partir de ahí, podemos tomar: $$\begin{align*} a&=1\\ f(x)&=\frac{x + x^2 + \dots + x^n - n}{x - 1}\\ L&=\frac{n(n + 1)}{2} \end{align*}$$

Así que tenemos que resolver $$\left| \frac{x + x^2 + \dots + x^n - n}{x - 1} - \frac{n(n + 1)}{2}\right| < \varepsilon$$ para $\left|x-1\right|$ .

Realmente no me apetece hacer nada de ese trabajo resolviendo esa ecuación. Si a alguien le apetece, por favor que lo haga y lo edite en mi respuesta. Por ahora, sin embargo, voy a saltar por delante montón de pasos, asumir que lo resolvió, y tienen nuestra solución de $$\left|x-1\right| \ge g(\varepsilon)$$

Ahora bien, sabemos por la definición que $\left| x-1 \right| \le \delta$ por lo que podemos concluir que si elegimos $\delta = g(\varepsilon)$ nos aseguramos de que el valor de $f(x)$ está dentro de $\varepsilon$ de $L$ satisfaciendo nuestra definición de límite, y demostrando que $$\lim_{x \to 1} \frac{x + x^2 + \dots + x^n - n}{x - 1} = \frac{n(n + 1)}{2}$$