Cómo mostrar $\lim_{x \to 1} \frac{x + x^2 + \dots + x^n - n}{x - 1} = \frac{n(n + 1)}{2}$ ?

Question

Soy capaz de evaluar el límite $$\lim_{x \to 1} \frac{x + x^2 + \dots + x^n - n}{x - 1} = \frac{n(n + 1)}{2}$$ para un determinado $n$ utilizando la regla de l'Hôspital (Bernoulli).

El problema es que no me acaba de gustar la solución, ya que depende de un armamento tan pesado. Un límite tan simple, debería ser fácilmente evaluable usando alguna idea inteligente. Aquí está una lista de lo que he intentado:

• Sustituir $y = x - 1$ . Creo que esto no lleva a ninguna parte.
• Halla el polinomio de Taylor. No tiene sentido, es un polinomio.
• Dividir por término principal. Dividiendo por $x$ no me llevó a ninguna parte.
• Encontrar el valor $f(x)$ en $x = 1$ directamente. No puedo ya que la función no está definida en $x = 1$ .
• Simplifica la expresión. No veo cómo podría.
• Utilizando la regla de l'Hôspital (Bernoulli). Funciona, pero no me acaba de gustar.

Si alguien ve una manera sencilla, por favor que me lo haga saber.

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Añadido más tarde: El enfoque propuesto por Sami Ben Romdhane es universal como asmeurer señaló. Ejemplos de otros límites que pueden resolverse fácilmente de esta manera:

• $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[m]{1 + ax} - \sqrt[n]{1 + bx}}{x}$ donde $m, n \in \mathbb{N}$ y $a, b \in \mathbb{R}$ o bien
• $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan(1 + x) - \arctan(1 - x)}{x}$ .

Parece que todos los límites de la forma $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x - a}$ donde $a \in \mathbb{R}$ , $f(a) = 0$ y para el que $\exists f'(a)$ se puede evaluar de esta manera, que es tan rápida como encontrar $f'$ y calculando $f'(a)$ .

Esto añade una herramienta muy útil a mi caja de herramientas de cálculo: Algunos límites pueden evaluarse fácilmente utilizando derivadas si se busca $f(a) = 0$ sin la regla de l'Hôspital. No he visto que esto se use mucho; propongo que lo llamemos La regla de Sami :).

Answer 1

Sea $$f(x)=x+x^2+\cdots+x^n-n$$ entonces por la definición de la derivada tenemos

$$\lim_{x \to 1} \frac{x + x^2 + \dots + x^n - n}{x - 1}= \lim_{x \to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x - 1}=f'(1)\\[10pt] = \left[ \vphantom{\frac11} 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + nx^{n-1} \right]_{x=1} = \frac{n(n + 1)}{2}$$

Answer 2

Bueno, puedes usar eso \begin{align} x-1&=\left(x-1\right)\cdot 1,\\ x^2-1&=\left(x-1\right)\cdot\left(x+1\right),\\ x^3-1&=\left(x-1\right)\cdot(x^2+x+1),\\ &{}\ \ \vdots\\ x^n-1&=\left(x-1\right)\cdot(x^{n-1}+\cdots+1),\\ \end{align} Ahora suma los lados izquierdo y derecho, divide por $x-1$ y considerar el límite $x\rightarrow 1$ .

Answer 3

El límite dado es $$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sum_{k=1}^nx^k-n}{x-1}\\ =\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sum_{k=1}^n(x^k-1)}{x-1}\\ =\sum_{k=1}^n \lim_{x\rightarrow 1} \frac{(x^k-1)}{x-1}$$

Ahora, $$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{(x^k-1)}{x-1}\\ =\lim_{x\rightarrow 1} (\sum_{j=0}^{k-1}x^j)=k$$

Por lo tanto, el límite dado se convierte en $$\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$$

Answer 4

Pistas:

$$x+x^2+\ldots+x^n-n=(x-1)+(x^2-1)+\cdots +(x^n-1)=(x-1)\left(1+(x+1)+\cdots\right)$$

También

$$1+(x+1)+(x^2+x+1)+\cdots+(x^{n-1}+\cdots+x+1)\xrightarrow [x\to 1]{}1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$$

Answer 5

$$\frac{x + x^2 + \dots + x^n - n}{x - 1} =\frac{1+x + x^2 + \dots + x^n - n-1}{x - 1} =\frac{\frac{x^{n+1}-1}{x-1}-(n+1)}{x-1}$$

Poner $x-1=y,$

$$\lim_{x \to 1} \frac{x + x^2 + \dots + x^n - n}{x - 1} = \lim_{y\to0}\frac{\frac{(1+y)^{n+1}-1}y-(n+1)}y$$

$$=\lim_{y\to0}\frac{\frac{1+\binom {n+1}1y+\binom {n+1}2y^2+ O(y^3)-1}y-(n+1)}y\text{ (using Binomial Expansion)}$$

$$=\lim_{y\to0}\frac{(n+1)+\frac{n(n+1)}2y+ O(y^2)-(n+1)}y$$

$$=\frac{n(n+1)}2\text{ as }x\to1,y\to0\implies y\ne0$$