norma de un operador normal mediante proyecciones

Question

Sea $H$ sea un espacio de Hilbert y $T$ un operador normal en $H$ . En la secuela, ${\rm tr}$ denota la traza para los operadores de clase de traza.

¿Tenemos $$ \vert\vert T \vert\vert= \sup |{\rm tr} (TP)| $$

donde el supremum se toma sobre las proyecciones $P$ de rango 1?

Answer 1

Sí. Se ve fácilmente que tu igualdad se mantiene para un operador diagonal. Y cualquier operador normal es una norma-límite de diagonales ( por el teorema de Weyl-von Neumann-Berg).

Answer 2

Sea $\lambda$ sea un elemento del espectro de $T$ . Si $\lambda$ es un valor propio de $T$ con vector propio $v$ , dejemos que $P$ sea la proyección sobre $\mathbb C v$ de modo que $\mathrm{tr}(TP)=\lambda$ . Si $T-\lambda I$ es inyectiva, entonces como $T$ es normal, $(T-\lambda I)^*$ también es inyectiva, lo que implica que $T-\lambda I$ tiene un alcance denso. Dado que $T-\lambda I$ tiene rango denso y no es invertible, no está acotada por debajo, por lo que existe una secuencia $(v_n)$ de vectores unitarios en $H$ tal que $\|Tv_n-\lambda v_n\|\to 0$ . Si $P_n$ es la proyección sobre $\mathbb C v_n$ entonces $\mathrm{tr}(TP_n)\to \lambda$ .

Esto demuestra que el radio espectral de $T$ está limitado por el sumo en cuestión, y de hecho el espectro de $T$ está contenido en el cierre de $\{\mathrm{tr}(TP):P=P^*=P^2,\mathrm{rank}(P)=1\}$ . Dado que el radio espectral de un operador normal es igual a su norma, resulta $\|T\|\leq \sup\limits_P |\mathrm{tr}(TP)|$ . La otra desigualdad se cumple sin normalidad de $T$ .

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Alternativamente, si $H$ es separable, entonces existe un $\sigma$ -medida finita $\mu$ con el conjunto subyacente $X$ y una función medible esencialmente acotada $f:X\to\mathbb C$ tal que $T$ es unitariamente equivalente al operador de multiplicación $M_f$ en $L^2(\mu)$ . La norma de $M_f$ es el supremo esencial de $|f|$ por lo que para cada $\varepsilon>0$ existe un conjunto $E$ de medida finita positiva tal que para casi todo $x\in E$ , $|f(x)|\geq \|M_f\|-\varepsilon$ . Si $P$ es la proyección sobre el tramo de $ \chi_E$ entonces $|\mathrm{tr}(M_fP)|\geq \|M_f\|-\varepsilon$ . (La propiedad se conserva por equivalencia unitaria).