¿Una integral es siempre continua?

Question

Digamos que tengo una función $f(x)$ en algún intervalo $[a,b]$ . Digamos que es integrable tal que $\displaystyle\int f(x)~dx $ se define.

Es $\displaystyle\int f(x)~dx $ ¿es necesariamente continua? Si supiera que la integral es integrable tal que $\displaystyle\int \int f(x)~dx $ se define. ¿Cambiaría eso algo?

En caso afirmativo, ¿por qué?

Gracias

Answer 1

Se puede demostrar lo siguiente

THM Sea $f:[a,b]\to\Bbb R$ sea integrable de Riemann sobre su dominio. Definir una nueva función $F:[a,b]\to\Bbb R$ por $$F(x)=\int_a^x f(t)dt$$ Entonces $F$ es continua. Es decir, el mapa $$f\mapsto \int_a^x f$$ envía $\mathscr R[a,b]$ a $\mathscr C[a,b]$ .

PRUEBA Sea $c\in[a,b]$ . Entonces $$F(x)-F(c)=\int_c^x f(t)dt$$

Desde $f$ es integrable, sabemos que está acotado, digamos $|f(x)|\leq M$ en $[a,b]$ . Entonces $$ -\int_c^x M\;dt\leq \int_c^x f(t)dt\leq \int_c^xM \;dt$$

lo que significa $$-M(x-c)\leq \int_c^x f(t)dt\leq M(x-c)$$

Así, obtenemos $$|F(x)-F(c)|\leq M|x-c|$$

En $x\to c$ el teorema del apretón dice $\lim\limits_{x\to c}F(x)=F(c)$ . $\blacktriangle$

Answer 2

Me gustaría añadir algo a la respuesta de Pedro Tamaroff. Esto valdría no sólo para funciones integrables de Riemann, sino incluso para funciones integrables de Lebesgue.

Sea $(X,\mu)$ cualquier espacio de medidas y $f$ sea $\mu$ -integrable. Se puede aproximar $f$ (en general $\mathscr{L}^p$ funciones) mediante funciones simples. Así pues $\epsilon>0$ podemos encontrar una función simple $\phi$ tal que $\int|f-\phi|d\mu<\frac{\epsilon}{2}$ . Sea $|\phi(x)|< M$ para todos $x$ . Ahora, para cualquier conjunto medible $A$ tenemos $$|\int\limits_Afd\mu-\int \limits_A\phi d\mu|\leq\int\limits_A|f-\phi|d\mu<\frac{\epsilon}{2}$$ o $$|\int\limits_Afd\mu|<\frac{\epsilon}{2}+|\int\limits_A\phi d\mu|\leq\frac{\epsilon}{2}+M\mu(A)<\epsilon$$ siempre que $\mu(A)<\frac{\epsilon}{2M}=\delta$ .

Ahora para una función Lebesgue-integrable $f$ en $[a,b]$ definimos $F(x)=\int\limits_a^x fd\lambda$ . Entonces dado $\epsilon>0$ podemos encontrar (como arriba) algunos $\delta>0$ tal que $|F(x)-F(y)|=|\int\limits_y^xfd\lambda|<\epsilon$ siempre que $|x-y|<\delta$ . Esto demuestra la continuidad (uniforme) de $F$ .

Además, esta función es diferenciable en casi todas partes.

Answer 3

Merece la pena señalar lo siguiente:

En primer lugar, hay que tener en cuenta que si sustituimos "continuo" por "diferenciable", la nueva afirmación no es cierta. Por ejemplo, la función $$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ $$x \mapsto \begin{cases} 1, & x \geq 0 \\ -1 & x < 0\end{cases}$$ tiene $x \mapsto |x|$ como una integral indefinida, que no es diferenciable.

Nosotros do sin embargo tienen lo siguiente: si $f$ es integrable de Riemann en su dominio y $F$ se define como en la respuesta de Pedro, entonces: $$f \mbox{ continuous at } x \rightarrow F \mbox{ differentiable at } x$$

Aquí está un buen artículo sobre estas cosas. En la jerga de ese artículo, diríamos que $|x|$ es una integral indefinida de la mencionada función escalón, pero no una antiderivada.