(Revisitado $_2$ ) La inyectividad depende de la existencia de una función onto que se remonte a su imagen previa.

Question

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QUEST:

Para cualquier conjunto $X$ y $Y$ existe una función inyectiva $f:X\rightarrow Y$ si y sólo si existe una función suryectiva $g:Y\rightarrow X$ .

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PREGUNTA $_1$ :

¿Cómo abordan ustedes este problema? Es decir, ¿qué se les pasa por la cabeza cuando ven cada una de las afirmaciones anteriores?

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CONOCIDOS:

$\dagger\hspace{.5cm}$ Si $f : X \rightarrow Y$ es inyectiva, entonces existe una función $g: Y \rightarrow X$ tal que $g \circ f = 1_X$ .

$\dagger\hspace{.5cm}$ Si $f:X \rightarrow Y$ es suryectiva, entonces debe existir una función $g:Y \rightarrow X$ tal que $f \circ g = 1_Y$ .

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PENSAMIENTOS:

http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor-Bernstein-Schroeder\_theorem

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INTENTO $_{Q1}$ : $\leftarrow$ Este intento es erróneo, para que lo sepas...

Desde $f$ es una inyección es una biyección sobre su imagen, y por tanto existe una inversa $h:f(X)\rightarrow X$ . Ahora, dejemos que $x$ sea un elemento arbitrario de $X$ y defina $g:Y\rightarrow X$ por $$g(y) = \begin{cases} h(y), & \text{if }y\in f(X) \\ x, & \text{otherwise } \end{cases},$$ así que $g$ es una biyección y, por tanto, una suryección.

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PREGUNTA $_2$ :

Sea $\precsim$ sea una relación definida por $$X\precsim Y~\iff~\exists~f:X\rightarrow Y~(1-1).$$

Sea $\succsim$ sea una relación definida por $$X\succsim Y~\iff~\exists~f:X\rightarrow Y~(\text{onto}).$$

¿Cómo se $\precsim$ y $\succsim$ relacionados en el contexto de la prueba de QUEST?

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INTENTO $_{Q2}$ : $\leftarrow$ Tal vez alguien compruebe esto...

Por el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder, si $X\precsim Y$ y $Y\succsim X$ entonces $X\cong Y$ por lo que podemos definir una relación $\leq$ en cardinalidades como sigue: $$\lvert X \rvert \leq \lvert Y \rvert~\text{if}~X\precsim Y,$$ a saber $\exists~f~\text{s.t.}~f:X\rightarrow Y~(1-1)$ lo que sugiere que $\leq$ es antisimétrico ya que $$\lvert X \rvert \leq \lvert Y \rvert~\text{and}~\lvert Y \rvert \leq \lvert X \rvert \iff X\precsim Y~\text{and}~Y\precsim X,$$ si y sólo si existen mapas inyectivos $f:X\rightarrow Y$ y $g:Y\rightarrow X$ por lo que también existe un mapa inyectivo $h:X\rightarrow Y$ por C-B-S, y así $X\cong Y\iff \lvert X \rvert = \lvert Y \rvert$ donde $\lvert * \rvert$ denota cardinalidad.

Answer 1

Ya tienes todos los ingredientes en tu pregunta.

Si existe una función inyectiva $f\colon X\to Y$ entonces tu hecho 1 te da una función $g\colon Y\to X$ ¿es lo que busca?

Si existe una función suryectiva $g\colon Y\to X$ entonces tu hecho 2 te da una función $f\colon X\to Y$ tal que $g\circ f=1_X$ (basta con invertir el papel de $f$ y $g$ y de $X$ y $Y$ ); ¿es lo que busca?

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Solución completa. Acepto sus dos hechos como conocidos, pero expuestos de forma ligeramente diferente:

1. Toda función inyectiva tiene una inversa izquierda
2. Toda función suryectiva tiene una inversa derecha

Supongamos que existe una función inyectiva $f\colon X\to Y$ . Por el hecho 1, $f$ tiene una inversa izquierda, es decir, una función $g\colon Y\to X$ tal que $g\circ f=1_X$ . Afirmo que la función $g$ es suryectiva; en efecto, si $x\in X$ tenemos $$ x = g\circ f(x) = g(f(x)) = g(y) $$ donde $y=f(x)$ .

Supongamos a la inversa que existe una función suryectiva $g\colon Y\to X$ . Por el hecho 2, $g$ tiene un inverso derecho, es decir, una función $f\colon X\to Y$ tal que $g\circ f=1_X$ . Afirmo que la función $f$ es inyectiva; en efecto, si $f(x_1)=f(x_2)$ entonces $$ x_1=g\circ f(x_1) = g(f(x_1))=g(f(x_2))=g\circ f(x_2)=x_2. $$

Answer 2

¿Soy el único que ve un error aquí?

Cita: "Por el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder, si $X\precsim Y$ y $Y\succsim X$ entonces $X\cong Y$ por lo que podemos definir una relación $\leq$ sobre cardinalidades como sigue:"

Eso no es el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder. Es el teorema CBS: Si $X\precsim Y$ y $Y\precsim X$ entonces $X\cong Y$ donde el cartel original definía $X\precsim Y$ ya que existe una función inyectiva de X a Y.