Tengo la siguiente matriz B y necesito encontrar la matriz A de forma que kerA=ImB y A tenga el menor número de filas posible

Question

Todo se considera en Z_3 (módulo 3).

B = \begin{bmatrix}1&1&1\\0&1&2\\2&1&0\\0&2&2\end{bmatrix}

Creo que el camino correcto es demostrar que ImB KerA que es cuando AB=0 y KerAImB al mismo tiempo implica KerA=ImB. Pero no sé cuándo eso es cierto. También necesito demostrar que A no puede tener menos filas.

Answer 1

Las columnas de $B $ son linealmente independientes por lo que la dimensión de la imagen de $B $ est $3$ . $A $ tiene que tener $4$ columnas para que funcione la multiplicación. Por lo tanto, por un teorema tenemos que la imagen de $A $ tiene dimensión $1$ . Así que $A $ puede tomarse como $1\times 4$ matriz. Este vector fila se puede encontrar encontrando el complemento ortogonal de la imagen de $B $ en $\mathbb {R}^4$ .

Una forma de hacerlo es resolver para $A=(x_1,x_2,x_3,x_4) $ para que $AB=0$ . Equivalentemente $B^TA^T=0$ .