geométricamente integral de las fibras

Question

Vamos $X$, $Y = \mathrm{Spec}(A)$ ser Noetherian esquemas y $f: X \to Y$ ser correcto con geométricamente integral de las fibras. Quiero mostrar esto implica $\mathcal{O}_Y = f_*\mathcal{O}_X$.

Mi idea era reducir a $A$ local, utilice el teorema de las funciones formales y que la conclusión es fielmente plana y que para la conexión de un esquema de reducción de $X$ más de una algebraicamente cerrado campo de $k$, uno ha $H^0(X,\mathcal{O}_X) = k$.

Puedo mostrar que $H^0(X,\mathcal{O}_X)$ es finita local $A$-álgebra. Probablemente es suficiente para mostrar que $H^0(X \times_A A/\mathfrak{m}^n) = A/\mathfrak{m}^n$ (luego de aplicar el formal teorema de la función y los fieles a la llanura de la finalización).

Answer 1

Tengo que volver a dibujar la prueba, debido a que el resultado en Hartshorne pensé que requiere de $f$ a ser plana.

De hecho hay un contraejemplo sin más de la asunción en $f$:

Supongamos $A$ no trivial nilradical $I$. Deje $X=\mathrm{Spec}(A/I)$ y deje $f : X\to Y$ ser el cerrado de inmersión. A continuación, para todos $y\in Y$, $X_y=\mathrm{Spec}(k(y))$ es geométricamente integral. Pero $f_*O_X=A/I$ no es igual a $A=O_Y$.

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Supongamos que estamos en la situación en la que $Y$ es local con el cierre de los puntos de $y$. Como $X_y$ es geométricamente integral, tenemos $H^0(X_y, \mathcal O_{X_y})=k(y)$. Así que la canónica mapa $$ H^0(X, \mathcal O_X)\otimes_A k(y)\to H^0(X_y, \mathcal O_{X_y})=k(y)$$ es surjective. Esto implica que la canónica mapa $$ H^0(X, \mathcal O_X)\otimes_A M\to H^0(X, \mathcal O_{X}\otimes_A M)$$ es un isomorfismo para cualquier finitely generadas $A$-módulo de $M$ (ver Hartshorne, III, §12). Ahora aplicar esto a $M=A/\mathfrak m^n$ y se puede concluir como en tu post.