Sea $(R, +, \cdot)$ sea un anillo finito sin divisores nulos, demuestre que $R$ tiene un elemento neutro para $\cdot$ .

Question

Tengo que probar la pregunta del título, pero estoy teniendo algunas dificultades.

He aquí un esbozo de lo que ya he probado:

Elija $a \in R$ . Porque $R$ es finito, existen enteros positivos $i$ y $j$ ( $i\neq j$ ) de modo que $a^i = a^j \Leftrightarrow a^ia = a^ja \Leftrightarrow a^ia - a^ja = 0 \Leftrightarrow a^j(a^{i-j}a - a) = 0$ .

Porque $R$ no tiene ningún divisor cero y $a^j \neq 0$ debemos tener $a^{i-j}a - a = 0$ y así, $a^{i-j}a = a$ .

Así que ahora creo que $a^{i-j}$ es el elemento neutro para $\cdot$ pero no estoy seguro de cómo proceder.

¿Alguien podría ayudarme?

¡¡Gracias!!

Answer 1

Así que en este punto, usted tiene $a^{i-j}a = a$ . Queremos demostrar que $a^{i-j}$ es, de hecho, el elemento de identidad de $\cdot$ . Ahora bien, esto equivale a decir que para cualquier $b \in R$ , $a^{i-j}\cdot b = b$ . Así que tenemos lo siguiente:

$a^{i-j} \cdot b = c \iff a \cdot a^{i-j} \cdot b = a \cdot c \iff a^{i-j}a \cdot b = a \cdot c \iff ab = ac $ .

Pero como no tenemos divisores cero, esto significa que $b = c$ .