líneas que pasan por el centroide de un polígono cíclico

Question

Sea $A_1, A_2,\ldots, A_{2n}$ sea $2n$ puntos de un círculo centrado en $O$ con la propiedad adicional de que el centroide de este conjunto de puntos coincide con $O$ . En otras palabras, la suma de los vectores $OA_1$ , $OA_2,\ldots OA_{2n}$ es cero.

Demostrar o refutar:

existen tres líneas $L_1$ , $L_2$ y $L_3$ a través de $O$ con las siguientes propiedades:

a). Para cada $1\le i\le 3$ , $L_i$ es una línea divisoria, lo que significa que exactamente $n$ puntos se encuentran en cada uno de los semiplanos determinados por $L_i$ .

b). El ángulo entre dos cualesquiera de estas tres rectas es exactamente 60 grados.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Gracias,

Dan

Answer 1

B es claramente falso. Tomemos, por ejemplo, un octógono regular. Muchos hexágonos también funcionan, si los vértices opuestos están diagonalmente opuestos y no están regularmente espaciados.

A es falso, al menos para impar $n$ . He aquí un contraejemplo fácil.
Sea $\omega$ sea una raíz enésima de la unidad. Sea $\theta$ sea cualquier número complejo con norma 1 que no sea el negativo de una raíz n-ésima de la unidad. Considere sus puntos en el plano complejo. Los puntos $\omega^i, \theta\omega^i$ para $i=1$ a $n$ son $2n$ puntos que sumen 0 (ya que las sumas individuales sí lo hacen), y no hay 2 puntos diametralmente opuestos. Por lo tanto, no hay candidatos para $L_i$ y ni siquiera tenemos que comprobar si podrían la mitad del conjunto.

Es fácil ver cómo extender este ejemplo de contador para cualquier $n$ con un divisor impar. No estoy seguro de cómo proceder para $n=2^k$ .