Ejemplo para una varifold integral rectificable con primera variación ilimitada

Question

Sólo busco un ejemplo de varifold integral rectificable, que no tenga una primera variación localmente acotada.

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Recapitulación

para cada $m$ -varifold rectificable $\mu$ existe un $m$ -conjunto rectificable $E$ en $\mathbb R^n$ que significa $E=E_0 \cup \bigcup_{k\in\mathbb N} E_k$ con $\mathcal H^m(E_0)=0$ y $E_k\subseteq F_k$ para algunos $\mathcal C^1$ -manifolds $F_k$ de dimensión $m$ y una función no negativa $\theta\in L^1_{\text{loc}}(\mathcal H^m|_E)$ tal que $\mu=\theta \mathcal H^m|_E$ . Se trata de una caracterización de $m$ -recitificables. La primera variación $\delta\mu$ de un varifold $\mu$ es para $\eta\in\mathcal C^1_c(\mathbb R^n;\mathbb R^n)$ dada por $$\delta\mu(\eta)=\int div_\mu\eta\,d\mu,$$ donde $ div_\mu(\eta)(x) = \sum_{i=1}^n \tau_i^T(x)\cdot D\eta(x)\cdot \tau_i(x)$ donde $\tau_i(x)$ es una base ortogonal del espacio tangente de $\mu$ en $x$ que coinsidencia $\mu$ -casi en todas partes con $T_xF_i$ para $x\in E_i\subseteq F_i$ como arriba. Así que $div_\mu\eta(x)$ no es más que la divergencia en el colector $F_i$ con $x\in E_i\subseteq F_i$ .

Nosotros decimos $\mu$ tiene una primera variación acotada localmente, si para todo $\Omega'\subseteq \Omega$ existe $c(\Omega')<\infty$ tal que $$ \delta\mu(\eta) \le C(\Omega',\Omega) \Vert \eta\Vert_{L^\infty(\Omega)} \qquad\forall\;\eta\in\mathcal C^1_c(\Omega'). $$ Más explicaciones, por ejemplo http://eom.springer.de/G/g130040.htm .

Para un $\mathcal C^2$ -manifold $M$ en $\mathbb R^n$ con curvatura media $H_M$ la primera variación es $$ \delta M(\eta)=-\int_M H_M \cdot \eta \,dvol_M -\int_{\partial M} \tau_0 \cdot \eta \,dvol_{\partial M} \qquad\forall\;\eta\in\mathcal C_c^1(\mathbb R^n)$$ con la normal interior $\tau_0\in T_xM\cap(T_x\partial M)^\bot$ y donde la curvatura media es la traza de la segunda forma fundamental $A$ por el significado de $H_M(x)=\sum_{i=1}^m A_x(\tau_i,\tau_i)$ en el espacio normal de $M$ . Como es obvio en este caso la primera variación está localmente acotada.

Answer 1

Aquí hay algo extraño: parece que para la curva en diente de sierra (la curva de Lipschitz que sube y baja con pendiente $1$ ), la primera variación es simplemente la suma de $\delta$ -medidas en los puntos de inflexión por los vectores bisectores unitarios, por lo que podemos tener una longitud fija y una primera variación arbitrariamente grande (basta con hacer que los puntos de inflexión sean cada vez más densos), lo que ahora se puede convertir trivialmente en un ejemplo de área finita y primera variación infinita: tomar más y más curvas en diente de sierra cerradas amañadas alrededor de infinitos círculos con algunos radios finitos contenidos en un dominio compacto. ¿Se me escapa algo?

Answer 2

Hay varias formas de construir una varifold rectificable que no tenga una primera variación localmente acotada. Para empezar, vamos a reescribir la primera variación del varifold m $v = V(E,\theta)$ por $$ \delta\mu(\eta) = \int_E \mathrm{div}_E(\eta)\,\theta d\mathcal{H}^m $$ Suponiendo por un momento $E$ es suave $C^2$ con límite y $\theta$ una función suave, obtenemos: $$ \delta\mu(\eta) = \int_E [\mathbf{H_E}\cdot \eta\,\theta + \nabla_E\theta \cdot \eta] d\mathcal{H}^{m} + \int_{\partial E} \eta\cdot \tau_0 \,d\mathcal{H}^{m-1} $$ En particular, cuando $E = \{(x,0):\, x\in [a,b]\}$ y $\Omega=\mathbb{R}^2$ tenemos $$ \delta\mu(\eta) = \int_E \nabla_E\theta \cdot \eta \,d\mathcal{H}^{1} + \eta(a)\cdot (-1,0) + \eta(b) \cdot (1,0) $$ Esta fórmula sugiere dos formas sencillas de construir un varifold rectificable como el que se busca:

• tomar como $\theta$ una función (de una variable) cuya derivada no es una medida de Radon, es decir, una función que no está en $BV((a,b))$ , en cuyo caso el "primer término explota"

• pegar infinitos intervalos (posiblemente disjuntos) de forma que "la longitud 0-dimensinal de la frontera explote".