¿Por qué el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial?

Question

Un campo escalar sólo implica valores numéricos, sin dirección. Entonces, ¿por qué su gradiente se convierte en un campo vectorial?

Gracias.

Answer 1

Porque el gradiente le informa sobre direccional derivados.

Answer 2

Piensa en la altura de un punto en una colina. La altura es un escalar, pero el gradiente de la altura da tanto la dirección como la magnitud de la pendiente en el punto.

Answer 3

Las direcciones no están en los valores de la función $f$ que estás estudiando, sino en las formas en que puedes moverte en el espacio. De pie en un punto $p_0$ en el ámbito de $f$ puedes alejarte a lo largo de los rayos en todas las direcciones posibles. Es un hecho de la vida que en la mayoría de los casos la tasa inicial de cambio de $f$ a lo largo de dicho rayo depende de la dirección elegida. Cuando la función $f$ es diferenciable en $p_0$ lo hace de una forma característica, que puede codificarse en un vector, el gradiente $\nabla f(p_0)$ de $f$ en $p_0$ y se exhibe en la siguiente fórmula milagrosa: $$f(p_0+X)-f(p_0)=\nabla f(p_0)\cdot X+o(|X|)\qquad(X\to 0)\ .$$