Sea $f$ sea una función entera tal que $|f(z)| \leq |\sqrt{z}|$ para un $z$ . Evalúe $f(2017)$ .

Question

Estoy estudiando para un examen de cualificación en análisis complejo y esta pregunta me la hicieron en un examen antiguo: Sea $f$ sea una función entera tal que $|f(z)| \leq |\sqrt{z}|$ para un $z$ . Evalúe $f(2017)$ . Justifique su respuesta.

Hasta ahora puedo demostrar que $f$ debe ser constante (estimaciones de Cauchy). Sin embargo no veo la forma de evaluar $f(2017)$ . Si el supuesto fuera $|f(z)| \leq |\sqrt{z}|$ para todos $z$ entonces tendríamos $f(2017)=0$ . Sin embargo, no veo cómo proceder con la pregunta planteada. ¿Me he perdido algo o la pregunta está mal formulada?

Answer 1

La pregunta está formulada incorrectamente. Si se toma $f(z)=c$ para alguna constante $c$ como usted ha señalado, $|f(z)|\leq |\sqrt z|$ para todos $z$ con $|z|\geq c^2$ por lo que todas estas funciones funcionan. Parece que también has demostrado que éstas son las únicas funciones de este tipo. Anotar estas cosas es esencialmente todo lo que puede hacer para un problema de este tipo, y es de esperar que le dará todos los puntos de cualquier calificador razonable.