¿Es separable el polinomio mimal de un número algebraico módulo de primos no divisores de su discriminante?

Question

Sea $K$ sea un campo numérico algebraico, $K=\Bbb{Q}(\alpha)$ . Sea $f \in \mathbb Z[X]$ sea el polinomio mínimo de $\alpha$ .

Si $p$ no divide $\operatorname{disc}(f)$ entonces $f$ mod $p$ es un polinomio separable en $(\Bbb{Z}/p\Bbb{Z})[X]$ . Además, las raíces de $f \bmod Q$ son distintos, siendo $Q$ es un ideal primo de $\mathcal O_K$ (el anillo de enteros de $K$ ) arriba $p$ .

¿Son ciertas estas afirmaciones?

Answer 1

La respuesta a ambas preguntas es sí. Para ver esto, denotemos por $\overline{\phantom{x}}$ el mapa natural $\mathbf Z[X] \to (\mathbf Z / p \mathbf Z)[X]$ . Como el discriminante puede expresarse como un polinomio en los coeficientes de $f$ y $\overline{\phantom{x}}$ es un morfismo de anillos, tenemos $\overline{\operatorname{disc}(f)} = \operatorname{disc}(\overline f)$ .
Así, si $p$ no divide el discriminante de $f$ entonces $\operatorname{disc}(\overline f) \neq 0$ . Pero el discriminante también viene dado por $$ \operatorname{disc}(\overline f) = c \cdot \prod_{i \neq j} (\alpha_i - \alpha_j), $$ donde $c \in \mathbf Z / p\mathbf Z$ y $\alpha_1,\dotsc,\alpha_r$ son las raíces de $\overline f$ en algún campo de división. Dado que el discriminante $\operatorname{disc}(\overline f)$ es distinto de cero, concluimos que el $\alpha_i$ tienen que ser distintos. Así, $f$ es separable.

Si $f \bmod Q$ tendría una raíz múltiple, entonces $\overline f \in (\mathbf Z/ p \mathbf Z)[X]$ tendría una raíz múltiple en un campo de división, contradiciendo la separabilidad.