Prueba de que $\|QA\|_F^2 = \|A\|_F^2, A \in E^{m * n}, Q \in E^{m, m}$ con Q ortogonal.

Question

Hoy se me ha ocurrido esta demostración para el siguiente lema:

$\| QA \| _F^2 = \|A\|_F^2, A \in E^{m * n}, Q \in E^{m, m}$ con $Q$ ortogonales y $E$ cualquier campo.

Prueba: $\|QA\|_F^2 = \| (Qa_1 | Qa_2|...|Qa_n)\|_F^2 = \sum_{i = 1}^{n} \| Qa_i\|_2^2 = \sum_{i = 1}^{n} \| a_i \|_2^2 = \| A \|_F^2$ .

Utilizamos que la 2-norma es invariante a matrices ortogonales. $a_1, a_2, ... , a_n$ denotan las columnas de $A$ .

¿Qué le parece? ¿Es válido? Agradezco cualquier comentario.

Answer 1

Sí, su prueba es válida. Una prueba que prefiero es la siguiente: $$ \|QA\|_F^2 = \operatorname{tr}([QA]^T[QA]) = \operatorname{tr}(A^TQ^TQA) = \operatorname{tr}(A^TA) = \|A\|_F^2 $$