¿Una base para el núcleo de una integral definida?

Question

El problema es el siguiente:

Sea $P_2$ sea el espacio vectorial de polinomios de grado $2$ o menos. [ ] $\int:$ $P_2$ $\mathbb{R}$ sea la función dada por $\int(p)$ = $\int_0^1p(t)dt$

Dar una base para el núcleo (espacio nulo) a $\int$ .

Tengo problemas para entender las funciones (o polinomios) como vectores. Por lo que entiendo $\int$ es una transformación lineal y el núcleo es la solución de $\int(p)=0$ .
Si $p=ax^2+bx+c$ entonces $\int(p)=0=\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c$

¿Es este el núcleo? ¿Cómo pasar de esto a una base para el núcleo?

Answer 1

Tal vez sea instructivo invocar el isomorfismo del espacio polinómico-vectorial y $\mathbb R^3$ dada por $\Phi:ax^2+bx+c\mapsto \pmatrix{a\\b\\c}$ . Entonces la representación matricial de la integral en la base $\{\Phi(x^2),\Phi(x),\Phi(1)\}$ es $$\Phi\int\Phi^{-1} = (\tfrac 1 3,\tfrac 1 2,1)$$ Así que hemos reducido la cuestión a encontrar una base para el núcleo del funcional lineal dado por el vector fila $(\tfrac 1 3,\tfrac 1 2,1)$ . Como has observado, este núcleo viene dado por todos los $(a,b,c)^T\in\mathbb R^3$ tal que $\frac a 3+\frac b 2+c=0$ . Esta ecuación se resuelve, por ejemplo, con todos los vectores de la forma $\pmatrix{a\\b\\-\frac a 3-\frac b 2}$ por lo que una base posible es $$\left\{ \pmatrix{1\\0\\-\frac 1 3},\pmatrix{0\\1\\-\frac 1 2} \right\}.$$ Aplicación de $\Phi^{-1}$ a esta base obtenemos el conjunto $$\left\{ x^2-\tfrac 1 3 \;,\;x-\tfrac 1 2 \right\}$$ como base para el núcleo de $\int$ .