¿Cómo se lee la notación de PGF en inglés sencillo?

Question

¿Cómo se lee la notación anterior de PGF en inglés sencillo?

¿Lo es? $\alpha$ al poder $X$ ? ¿Qué significa?

Answer 1

Empieza por aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function

En general, hay que tener cuidado con las funciones generadoras. Son muy útiles para hacer trabajo teórico, pero no puedes tratarlas como un polinomio finito normal. Son series infinitas con propiedades útiles, pero la parte "infinita" de las series infinitas a menudo puede llevar por mal camino a la gente que no tiene mucha práctica con ellas.

Para traducirlo, como me pediste, al inglés llano, dice que la función generadora de probabilidad de la variable aleatoria $X$ se escribe como $g_X(\alpha)$ y es igual al Valor Esperado de $\alpha^X$ definido para $\alpha$ entre 0 y 1.

$\alpha$ es una variable ficticia. Lo que falta es la forma de sumar, que figura en el enlace anterior. La última parte de tu imagen es el principio de una propiedad o definición alternativa para pgfs que sólo funciona si $X$ es de valor entero, pero no forma parte de las dos primeras líneas.

En cuanto al significado de la fórmula, puesto que $X$ es una variable aleatoria, cualquier fórmula con $X$ en ella puede tener un valor esperado calculado mediante la fórmula habitual de sumar sobre cada posible resultado de $X$ multiplicando la fórmula por la probabilidad de que se produzca ese resultado.

IE, $$g_X(\alpha)=E(\alpha^X) = \sum_{X} p(X)\alpha^X$$ Si $X$ sólo toma valores enteros, se convierte en una serie de potencias estándar.

Answer 2

Sí, es un número, E, multiplicado por el número, $\alpha$ a la potencia X. Podemos escribir $\alpha^x= e^{ln(\alpha^x}= e^{xln(\alpha)}= \left(e^{ln(\alpha)}\right)^x$