Realmente se pueden decir muchas cosas, pero sólo profundizaré en una idea geométrica: la transformada de Laplace, como muchas transformaciones integrales es un cambio de base ("sistema de coordenadas"). Considero que se trata de una interpretación "física" porque es geométrica: podrás imaginar las acciones de la transformada de Laplace sobre una función del mismo modo que imaginas cómo una matriz puede transformar geométricamente un vector. Esta descripción también es matemáticamente precisa.
Si has estudiado álgebra lineal es probable que te hayas topado con el concepto de un cambio de base . Imagina que tienes un vector en $\mathbb{R}^2$ . Se construye una base $\{\hat{a}_x, \hat{a}_y\}$ para representar su vector como $$ v = a_1\hat{a}_x+a_2\hat{a}_y $$
Expresar $v$ de forma alternativa, $\{\hat{b}_x, \hat{b}_y\}$ para calcular las proyecciones, utilizamos el producto interior (o producto "punto"), que hace el trabajo geométrico de calcular las proyecciones. Básicamente, estamos preguntando:
Dado $[a_1, a_2]^T$ , $\{\hat{a}_x, \hat{a}_y\}$ y $\{\hat{b}_x, \hat{b}_y\}$ calcular $[b_1, b_2]^T$ para que, $$a_1\hat{a}_x+a_2\hat{a}_y = b_1\hat{b}_x+b_2\hat{b}_y$$
Si tomamos el producto interior de ambos lados de esta ecuación con $\hat{b}_x$ , obtenemos, $$\hat{b}_x\cdot(a_1\hat{a}_x+a_2\hat{a}_y) = \hat{b}_x\cdot(b_1\hat{b}_x+b_2\hat{b}_y)$$ $$a_1(\hat{b}_x\cdot\hat{a}_x)+a_2(\hat{b}_x\cdot\hat{a}_y) = b_1$$
donde para la simplificación final hicimos la elección común de que nuestra base $\{\hat{b}_x, \hat{b}_y\}$ es ortonormal, $$\hat{b}_x\cdot\hat{b}_x=1,\ \ \ \ \hat{b}_x\cdot\hat{b}_y=0$$
Ahora tenemos $b_1$ en términos de $a_1$ y $a_2$ con algunos pesos $\hat{b}_x\cdot\hat{a}_x$ y $\hat{b}_x\cdot\hat{a}_y$ que en realidad son iguales a los cosenos de los ángulos entre estos vectores, lo cual sabemos ya que fuimos nosotros los que elegimos estos sistemas de coordenadas. Volvemos a hacer lo mismo pero punteando con $\hat{b}_y$ para calcular $b_2$ .
Podemos construir una representación matricial de este proceso, $$R \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$$ $$R = \begin{bmatrix} \hat{b}_x\cdot\hat{a}_x & \hat{b}_x\cdot\hat{a}_y \\ \hat{b}_y\cdot\hat{a}_x & \hat{b}_y\cdot\hat{a}_y \end{bmatrix}$$
¿Qué tiene esto que ver con la transformada de Laplace? Ahora tenemos que generalizar nuestra comprensión de los vectores. 3Azul1Marrón lo explica muy bien. En pocas palabras: una función puede considerarse como un miembro de un espacio vectorial infinito. Tiene un elemento por cada valor que puede tomar, en una matriz ordenada.
$$f(x) = \begin{bmatrix} \vdots \\ f(0.05) \\ f(0.051) \\ f(0.052) \\ \vdots \end{bmatrix}$$
donde, por supuesto, tiene elementos para valores comprendidos entre 0,0500000... y 0,051, etc. La indexación es incontable, pero la cuestión es que son vectores porque satisfacen la norma propiedades de los vectores . Basta con considerar que lo que podemos hacer con las funciones es idéntico a lo que hacemos con los vectores típicos en espacios de dimensiones finitas: cuando se suman dos funciones se suman "elemento a elemento", la multiplicación escalar hace lo que debe, y además, incluso tenemos un producto interior ¡! (Así que estas funciones no son sólo miembros de un espacio vectorial, sino en realidad un Espacio de Hilbert ).
$$f(x)\cdot g(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x)g(x) \, dx$$
Lo que significa esa integral: por cada $x$ (índice), multiplicar $f(x)$ y $g(x)$ y sumar ese resultado por todos los $x$ . ¿Te suena?
$$\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots\end{bmatrix} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots$$
Si las funciones son vectores, ¿no tienen que expresarse en bases de otras funciones? Sí. ¿Cuántas funciones base se necesitan para abarcar un espacio dimensional infinito? Infinitas. ¿Es difícil describir un número infinito de funciones únicas? No. Un ejemplo: $$f_n(x)=x^n\ \ \ \ \forall n \in \mathbb{R}$$ Aunque observe que no tenemos ambos $x^n$ y $cx^n$ porque son linealmente dependientes; abarcan la misma dirección. A veces llamamos a las funciones linealmente dependientes "términos semejantes" en el sentido de que podemos combinar $x^n + cx^n = (1+c)x^n$ a diferencia de las funciones linealmente independientes no podemos combinar $x^n + x^{n+1}$ .
Si tomamos el producto interior de una de estas $f_i(x)$ con $f_j(x)$ ciertamente no obtendríamos 0, por lo que no tienen esa bonita propiedad ortogonal en la que $\hat{b}_x\cdot\hat{b}_y=0$ . Los polinomios no forman una base ortogonal. Sin embargo, las exponenciales puramente complejas $e^{i\omega}$ do .
Ahora veamos esa misteriosa transformada de Laplace. $$\mathscr{L}(f(x)) = \int_{-\infty}^\infty e^{-sx}f(x) \, dx$$
Imagine todos los valores posibles de $e^{-sx}$ en una gran matriz, en la que cada fila corresponde a la inserción de un $s$ y cada columna corresponde a la introducción de un $x$ . (Esta matriz es ortonormal si $s=i\omega$ es puramente imaginaria, es decir, la transformada de Fourier).
Si selecciona algunos $s$ estás arrancando un valor concreto de la función que resulta de la multiplicación de esta matriz por el vector $f(x)$ una función que llamamos $F(s):=\mathscr{L}(f(x))$ . Específicamente, $$F(s=3) = f(x) \cdot e^{-3x}$$
(donde ese punto es un producto interior, no una multiplicación ordinaria). Decimos que $F(s)$ es sólo $f(x)$ expresado sobre una base de funciones exponenciales. La elección de un valor específico de $s=s_1$ es elegir el valor de $f(x)$ en el $e^{-s_1x}$ dirección . Todo el $e^{-sx}$ puede considerarse como el cambio de matriz base.
Físico aplicaciones de pensar las cosas de esta manera:
Ecuaciones diferenciales. Modelan, como, todo. La exponencial tiene una relación especial con la derivada. Si vemos la derivada como un operador $D$ vemos que $D$ aplicado a una exponencial sólo devuelve una versión escalada de esa misma exponencial.
$$D(e^{\lambda x}) = \lambda e^{\lambda x}$$ $$D(f) = \lambda f$$ $$Av = \lambda v$$
Parece una de esas ecuaciones eigen-somethin. El exponencial es el eigen- función de la derivada. Imaginemos que tenemos una ecuación con sólo operadores de derivada y constantes (echando cualquier otra cosa podría romper potencialmente la relación eigen con la exponencial). Las cosas serían más fáciles si coordenadas modificadas a la base propia.
En la base propia, la acción de los operadores originales se convierte en un simple escalado. Hacemos esto todo el tiempo para resolver problemas del mundo real en espacios vectoriales de dimensión finita (cambiar las coordenadas para simplificar el problema), ahora lo hacemos para espacios vectoriales de dimensión infinita. Por eso la transformada de Laplace es útil para resolución de ecuaciones diferenciales lineales entre otras muchas cosas.
Ahora también deberías ser capaz de explicar las transformadas de Fourier, las transformadas de Hankel y explicar por qué los polinomios de Legendre son un buen material, todo al pie de la letra.
Si le interesa, lea más sobre el análisis funcional. También es posible que la teoría de sistemas lineales y el concepto de convolución te resulten interesantes y accesibles ahora. Mucha suerte.
P.D. Esto no pretendía ser un libro sobre este tema, y no estaba siendo tan riguroso como debería en Math Stack Exchange, pero pensé que ya que querías intuición, una introducción menos rigurosa y más intuitiva a la perspectiva del análisis funcional era lo correcto.
Aquí encontrará un resumen de las preguntas y respuestas.
