Teorema de incrustación de Abhyankar-Moh sin cerrazón algebraica

Question

Después de preguntar esta pregunta , me he dado cuenta de que también me interesa la siguiente pregunta relacionada:

Es Teorema de Abhyankar-Moh 1.6 ¿sigue siendo válida si eliminamos la hipótesis de la cerrazón algebraica?

La respuesta es probablemente no, pero no sé cómo encontrar un contraejemplo sobre $\mathbb{R}$ por ejemplo.

Además, si no me equivoco, el teorema 1.6 de AM aparece como Teorema 1 de El documento de van den Essen No veo dónde se necesita la certeza algebraica en la demostración.

Muchas gracias por cualquier comentario o sugerencia.

Edita: Recientemente he encontrado este hermoso criterio (Teorema 3.3), que no requiere la cerrazón algebraica del campo base.

Answer 1

En el artículo de van den Essen, un mapa polinómico $t\mapsto (x(t),y(t))$ se denomina incrustación si existe un polinomio $F$ tal que $F(x(t),y(t))=t$ . No hay ningún problema con su demostración: El teorema 1 es cierto en cualquier campo si interpretamos la incrustación en este sentido.

La razón por la que consideró $\mathbb{C}$ en lugar de un campo arbitrario es que lo anterior definición es extraño si se utiliza para campos no algebraicamente cerrados como los reales. (En este caso, se podría llamar algo así como "incrustación fuerte" o "incrustación agradable", pero sólo "incrustación" sería bastante engañoso).