divisibilidad del orden de Aut(G) de un grupo p

Question

Si te dieran un grupo p G de orden $p^{n}$ y estuvieras interesado en encontrar los posibles divisores de |Aut(G)|, ¿cómo lo harías? Por ejemplo, ¿podría demostrar que $p^{n}-1$ divide |Aut(G)|? Y por último, si G no fuera necesariamente un grupo p, ¿cómo se generalizaría la divisibilidad del orden de su grupo de automorfismo?

Answer 1

La pregunta es probablemente demasiado amplia, pero puedo responder a la parte que se refiere a $p$ -grupos $G$ con $|{\rm Aut}(G)|$ divisible por $p^n-1$ . Al principio pensé que sólo los abelianos elementales $p$ -tenía esa propiedad, pero curiosamente sólo hay otros dos ejemplos, a saber $C_4 \times C_2^4$ y $Q_8 \times C_2^3$ ambos de orden $64$ .

Por un resultado de Zsigmondy, si $p$ es primo y $n>1$ entonces suele haber un primo $q$ dividiendo $p^n-1$ que no divide $p^k-1$ para cualquier $k<n$ . Las excepciones son cuando $n=2$ y $p$ es un primo de Fermat, y cuando $p=2$ , $n=6$ .

Supongamos que el $p$ -grupo $G$ tiene $|{\rm Aut}(G)|$ divisible por $p^n-1$ y supongamos que $G$ no es abeliano elemental. Entonces su subgrupo Frattini $\Phi(G)$ no es trivial, y $G/\Phi(G)$ es abeliano elemental de orden $p^k$ con $k<n$ .

Si hay un primo $q$ como en el resultado de Zsigmondy, entonces $q$ no divide $|{\rm Aut}(G/\Phi(G))| = |{\rm GL}(k,p)|$ . Por tanto, un elemento de ${\rm Aut}(G)$ de orden $q$ actuaría trivialmente sobre $G/\Phi(G)$ . Pero entonces por resultado de Burnside este automorfismo sería trivial, contradicción.

En los casos excepcionales en los que no se cumple el resultado de Zsigmondy, cuando $n=2$ la única posible $G$ es el grupo cíclico, que tiene orden $p(p-1)$ no divisible por $p^2-1$ .

Esto deja el caso $|G|=2^6$ . Desde $|{\rm GL}(3,2)|$ no tiene subgrupos de orden $9$ debemos tener $k \ge 4$ Así que $|\Phi(G)|\le 4$ . Aquí he sido perezoso y lo he rematado con un cálculo informático, aunque probablemente el resultado podría demostrarse a mano.

Los únicos grupos de orden $64$ con $|\Phi(G)| \le 4$ y grupos de automorfismo de orden divisible por $63$ son $\mathtt{SmallGroup}(64,260) \cong C_4 \times C_2^4$ y $\mathtt{SmallGroup}(64,262) \cong Q_8 \times C_2^3$ . Obsérvese que el segundo de ellos tiene un subgrupo de orden $63$ pero el primero no.

Answer 2

El famoso teórico de grupos estadounidense George Abraham Miller construyó en 1913 un grupo no abeliano de orden $2^6$ cuyo grupo de automorfismo es abeliano elemental de orden $2^7$ (publicado como Automorfismos de período dos de un grupo abeliano cuyo orden es una potencia de dos Tôhoku J., 10:118-127).