Sea $\mathbb{F}_2$ sea el grupo libre sobre dos generadores. Por un resultado de Kaimanovich y Vershik, para cada medida $\mu$ en $\mathbb{F}_2$ tal que el soporte de $\mu$ genera $\mathbb{F}_2$ tenemos que el paseo aleatorio no es $\mu$ -Liouville, es decir, existe un límite $\mu$ -función armónica en $\mathbb{F}_2$ que no es constante. ¿Se puede construir esta función geométricamente sin involucrar el resultado KV? Lo veo para medidas finitamente soportadas. Es probable que esto se haya aclarado en alguna parte, me gustaría tener una cita en este último caso.
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waiwai933
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Si he entendido bien la pregunta es una petición de una fórmula que exprese una determinada no constante acotada $\mu$ -función armónica en $\mathbb{F}_2$ donde $\mu$ es una medida de probabilidad generadora fija.
Asumo a continuación que $\mathbb{F}_2$ es generado libremente por $\{a,b\}$ . Sea $A$ sea el conjunto formado por todas las palabras que empiezan por $a$ en $\mathbb{F}_2$ . Afirmo que $$ h(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n\mu^k(xA), \quad x\in \mathbb{F}_2 $$ es un $\mu$ -armónico, donde $\mu^k$ representa el $k$ -ésima potencia de convolución de $\mu$ ( $\mu^0=\delta_e$ ).
De hecho, no es difícil ver que la fórmula de $h$ converge puntualmente a $[0,1]$ -valorado $\mu$ -armónico. Con un poco de trabajo se puede ver que esta función no es constante.
Una forma algo más sofisticada de ver esto, que coincide con mis comentarios anteriores, es la siguiente. Consideremos el espacio compacto $\bar{\mathbb{F}}_2=\mathbb{F}_2\cup \partial\mathbb{F}_2$ . Entonces $\nu=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n\mu^n*\delta_e$ es una (de hecho, la única) medida estacionaria en $\bar{\mathbb{F}}_2$ . Es compatible con $\partial\mathbb{F}_2$ porque $\mathbb{F}_2$ no admite ninguna medida estacionaria. Se apoya plenamente allí, por la minimalidad. No es difícil ver que $(\partial \mathbb{F}_2,\nu)$ es un $\mu$ -en el sentido de Furstenberg, por lo que la transformada de Poisson de cualquier constante no $L^\infty$ no es constante. La expresión para $h$ es la transformada de Poisson para $\chi_\bar{A}$ wrt $\nu$ en $\bar{\mathbb{F}}_2$ que es la misma que la transformada de Poisson para $\chi_{\partial A}$ wrt $\nu$ en $\partial \mathbb{F}_2$ . Esta última no es constante por el hecho de que $\nu$ es totalmente compatible.
Por supuesto, la elección de $A$ en la construcción anterior era bastante arbitraria.
